3点(4, -1), (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点(4, -1), (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

この円が与えられた3点を通ることから、以下の3つの式が成り立つ。

点(4, -1)を通ることから、

$4^2 + (-1)^2 + 4l - m + n = 0$

$16 + 1 + 4l - m + n = 0$

$4l - m + n = -17$ ...(1)

点(6, 3)を通ることから、

$6^2 + 3^2 + 6l + 3m + n = 0$

$36 + 9 + 6l + 3m + n = 0$

$6l + 3m + n = -45$ ...(2)

点(-3, 0)を通ることから、

$(-3)^2 + 0^2 - 3l + 0m + n = 0$

$9 + 0 - 3l + n = 0$

$-3l + n = -9$ ...(3)

(2) - (1)より、

$(6l + 3m + n) - (4l - m + n) = -45 - (-17)$

$2l + 4m = -28$

$l + 2m = -14$ ...(4)

(3)より、$n = 3l - 9$ ...(5)

(1)に(5)を代入して、

$4l - m + (3l - 9) = -17$

$7l - m = -8$ ...(6)

(6)より、$m = 7l + 8$ ...(7)

(4)に(7)を代入して、

$l + 2(7l + 8) = -14$

$l + 14l + 16 = -14$

$15l = -30$

$l = -2$

(7)に代入して、$m = 7(-2) + 8 = -14 + 8 = -6$

(5)に代入して、$n = 3(-2) - 9 = -6 - 9 = -15$

したがって、求める円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$