(1) 2点A, Bを結ぶケーブルカーがあり、AB間は1200m、AとBの標高差は210mである。勾配が一定であるとき、水平面とケーブルカーのなす角$\theta$はおよそ何度か。三角関数表（省略）を用いて空欄にあてはまる整数を答えよ。 (2) 同一平面上にある2点A, Bより100m高い高台の地点Cに鉄塔が立っている。点Cから見て点Aは西の方向に見え、点Bは南の方向に見えた。AからBまでの距離が500m、Aから鉄塔の頂点Dを見上げたときの仰角が30°、Bからの仰角が45°であったとすると、この鉄塔の高さは何mか。

1. 問題の内容

(1) 2点A, Bを結ぶケーブルカーがあり、AB間は1200m、AとBの標高差は210mである。勾配が一定であるとき、水平面とケーブルカーのなす角$\theta$はおよそ何度か。三角関数表（省略）を用いて空欄にあてはまる整数を答えよ。

(2) 同一平面上にある2点A, Bより100m高い高台の地点Cに鉄塔が立っている。点Cから見て点Aは西の方向に見え、点Bは南の方向に見えた。AからBまでの距離が500m、Aから鉄塔の頂点Dを見上げたときの仰角が30°、Bからの仰角が45°であったとすると、この鉄塔の高さは何mか。

2. 解き方の手順

(1)

水平面とケーブルカーのなす角$\theta$を求める。

$\sin \theta = \frac{\text{標高差}}{\text{AB間の距離}} = \frac{210}{1200} = \frac{7}{40}$

$\sin \theta = 0.175$

$\theta$はおよそ10度。

(2)

CからAへの方向が西、CからBへの方向が南なので、三角形ABCはCが直角の直角三角形である。

$AC = x$, $BC = y$とおくと、三平方の定理より、

$x^2 + y^2 = 500^2 = 250000$

鉄塔の高さから高台の高さを引いた値を$h$とおくと、Aからの仰角が30°、Bからの仰角が45°なので、

$\tan 30^\circ = \frac{h}{x}$

$\tan 45^\circ = \frac{h}{y}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x}$

$1 = \frac{h}{y}$

$x = \sqrt{3}h$

$y = h$

$x^2 + y^2 = 250000$に代入して、

$(\sqrt{3}h)^2 + h^2 = 250000$

$3h^2 + h^2 = 250000$

$4h^2 = 250000$

$h^2 = 62500$

$h = 250$

鉄塔の高さは$h + 100 = 250 + 100 = 350$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 350