3点 $O(0, 0, 0)$, $A(1, 2, 1)$, $B(1, 4, -3)$が与えられています。z軸上の点Pで、点Aと点Bからの距離が等しい点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $O(0, 0, 0)$, $A(1, 2, 1)$, $B(1, 4, -3)$が与えられています。z軸上の点Pで、点Aと点Bからの距離が等しい点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

z軸上の点Pの座標は、$(0, 0, z)$ と表せます。

点Aと点Pの距離APは、

$AP = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (1-z)^2} = \sqrt{1 + 4 + (1-z)^2} = \sqrt{5 + (1-z)^2}$

点Bと点Pの距離BPは、

$BP = \sqrt{(1-0)^2 + (4-0)^2 + (-3-z)^2} = \sqrt{1 + 16 + (-3-z)^2} = \sqrt{17 + (-3-z)^2}$

AP = BPなので、$AP^2 = BP^2$ が成り立ちます。

$5 + (1-z)^2 = 17 + (-3-z)^2$

$5 + 1 - 2z + z^2 = 17 + 9 + 6z + z^2$

$6 - 2z = 26 + 6z$

$-8z = 20$

$z = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2}$

したがって、点Pの座標は $(0, 0, -\frac{5}{2})$ となります。

3. 最終的な答え

点Pの座標は、$(0, 0, -\frac{5}{2})$