極方程式 $r = \frac{5}{3 + 2\cos{\theta}}$ で表される曲線Cについて、$\theta = \frac{\pi}{2}$ に対応する点Aと $\theta = \frac{4}{3}\pi$ に対応する点Bの直交座標を求める。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{5}{3 + 2\cos{\theta}}$ で表される曲線Cについて、$\theta = \frac{\pi}{2}$ に対応する点Aと $\theta = \frac{4}{3}\pi$ に対応する点Bの直交座標を求める。

2. 解き方の手順

点Aの直交座標を求める。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ を与えられた極方程式に代入して、$r$ の値を求める。

$r = \frac{5}{3 + 2\cos{\frac{\pi}{2}}}$

$\cos{\frac{\pi}{2}} = 0$ なので、

$r = \frac{5}{3 + 2 \cdot 0} = \frac{5}{3}$

極座標 $(r, \theta)$ を直交座標 $(x, y)$ に変換するには、以下の公式を使用する。

$x = r\cos{\theta}$

$y = r\sin{\theta}$

点Aの直交座標 $(x_A, y_A)$ は、

$x_A = \frac{5}{3}\cos{\frac{\pi}{2}} = \frac{5}{3} \cdot 0 = 0$

$y_A = \frac{5}{3}\sin{\frac{\pi}{2}} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$

点Bの直交座標を求める。

$\theta = \frac{4}{3}\pi$ を与えられた極方程式に代入して、$r$ の値を求める。

$r = \frac{5}{3 + 2\cos{\frac{4}{3}\pi}}$

$\cos{\frac{4}{3}\pi} = -\frac{1}{2}$ なので、

$r = \frac{5}{3 + 2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{5}{3 - 1} = \frac{5}{2}$

点Bの直交座標 $(x_B, y_B)$ は、

$x_B = \frac{5}{2}\cos{\frac{4}{3}\pi} = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{4}$

$y_B = \frac{5}{2}\sin{\frac{4}{3}\pi} = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

点Aの直交座標: $(0, \frac{5}{3})$

点Bの直交座標: $(-\frac{5}{4}, -\frac{5\sqrt{3}}{4})$