## 問題の内容

## 問題の内容

空間上の3点 $A(0,1,2)$, $B(1,-1,0)$, $C(1,1,5)$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

1. ベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の外積 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ を求めよ。

2. $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を隣り合う3辺とする平行六面体の体積 $V$ を求めよ。

## 解き方の手順

1. 外積 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ を求める。

まず、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を成分表示で表す。

$\overrightarrow{OA} = (0, 1, 2)$

$\overrightarrow{OB} = (1, -1, 0)$

外積の定義より、

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0) - (2)(-1) \\ (2)(1) - (0)(0) \\ (0)(-1) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

2. 平行六面体の体積 $V$ を求める。

平行六面体の体積は、$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ を並べてできる行列式の絶対値に等しい。つまり、

$V = |(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC}|$

ここで、$\overrightarrow{OC} = (1, 1, 5)$ であるから、

$V = |\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}| = |(2)(1) + (2)(1) + (-1)(5)| = |2 + 2 - 5| = |-1| = 1$

## 最終的な答え

1. $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

2. $V = 1$