円に内接する四角形と、円の外部の点から引かれた接線に関する問題です。$\angle BFD = 25^\circ$、$\angle ACB = 45^\circ$ が与えられたとき、$\angle ABC$ を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形と、円の外部の点から引かれた接線に関する問題です。$\angle BFD = 25^\circ$、$\angle ACB = 45^\circ$ が与えられたとき、$\angle ABC$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ADB = \angle ACB = 45^\circ$ です（円周角の定理）。

次に、直線 $AF$ は円の接線なので、$\angle EAF = \angle ABE$ が成り立ちます（接弦定理）。

$\triangle ADF$ において、$\angle DAF = 180^\circ - \angle ADF - \angle DFA = 180^\circ - 45^\circ - 25^\circ = 110^\circ$ です。

四角形 $ABCE$ は円に内接するので、対角の和は180度になります。

つまり、$\angle ABC + \angle AEC = 180^\circ$ です。

ここで、$\angle AEC$ は $\angle AED + \angle DEC$ に分けられます。$\angle AED$ は$\angle ADB$と同じ弧$AB$に対する円周角なので$\angle AED = 45^\circ$です。

$\angle DEC = \angle DAF = 110^\circ$

従って、$\angle AEC = 45^\circ + \angle DAF = 45^\circ + 25^\circ = 70^\circ$

$\angle BFD$ は $\triangle BFA$ の外角であるから、$\angle BFA + \angle FAB = \angle FBA = \angle ABE + \angle ABC$である

$25^{\circ} + \angle FAB = \angle ABE = \angle FAC$

$\angle ACB = 45^{\circ}$であるから、$\angle ADB = 45^{\circ}$

$\angle ABC + \angle AEC = 180^{\circ}$

$\angle ABC + \angle AED + \angle DEC= 180^{\circ}$

$\angle ABC + 45^{\circ} + 25^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle FAC = 110^\circ$ なので、

$\angle ABC = 180 - 45 - (180 -110 - 45) = 70^{\circ}$

$\angle ACB=45^\circ$ より $\angle AEB=45^\circ$ 。

$\angle FAE= \angle ABE$

$\angle AEB = 180^\circ - (45^\circ + x )=110^\circ$

より、 $\angle ABE = 25^{\circ}$

$\angle ABC= 110^{\circ}$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 70^\circ$