図のように円が三角形ABCに内接しています。円と辺AB, BC, CAの接点をそれぞれQ, P, Rとします。AQ=7, AR=10, BP=x, CP=12のとき、xの値を求めます。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

図のように円が三角形ABCに内接しています。円と辺AB, BC, CAの接点をそれぞれQ, P, Rとします。AQ=7, AR=10, BP=x, CP=12のとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいという性質を使います。

AQ=AR, BP=BQ, CP=CRが成り立ちます。

与えられた情報から、AR=10なので、AQ=10です。しかし、図よりAQ=7です。問題がおかしいですが、一旦AQ=7として、進めます。

BQ = AB - AQ

CR = AC - AR

ここで、AB = AQ + BQ = 7 + x

AC = AR + CR = 10 + 12 = 22

BC = BP + CP = x + 12

問題文の数値は一致しないので、AQ=7、CR=12ではなく、AQ=ARとして解き進めることとします。

この時

BQ = BP = x

AR = AQ

CR = CP = 12

AB = AQ + BQ = AR + x

AC = AR + CR = AR + 12

BC = BP + CP = x + 12

AB + BC + CA = (AR + x) + (x + 12) + (AR + 12) = 2AR + 2x + 24

しかし、円が内接しているので、AQ = ARです。よって、

AB = 7 + x

AC = 10 + 12 = 22

BC = x + 12

問題文の数値は一致しないので、数値を変えて問題を解くことはしません。

3. 最終的な答え

問題文の設定に矛盾があるため、xの値を一意に決定できません。

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

図のように円が三角形ABCに内接しています。円と辺AB, BC, CAの接点をそれぞれR, P, Qとします。AR=5, BQ=x, CP=5, BP=6のとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいという性質を使います。

AR=AQ, BP=BR, CP=CQが成り立ちます。

AR = 5 なので AQ = 5 です。

BP = 6 なので BR = 6 です。

CP = 5 なので CQ = 5 です。

BQ = BR = x が成り立ちます。したがって、x = 6 です。

3. 最終的な答え

x = 6

## 問題1 (3)

1. 問題の内容

図のように円が四角形ABCDに内接しています。円と辺AB, BC, CD, DAの接点をそれぞれS, P, Q, Rとします。AS=3, BR=x, CQ=7, DP=10, BS=8, CR=10のとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

円外の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいという性質を使います。

AS=AR, BS=BP, CQ=CP, DQ=DRが成り立ちます。

AS = 3 なので AR = 3 です。

BS = 8 なので BP = 8 です。

CQ = 7 なので CP = 7 です。

DP = 10 なので DQ = 10 です。

CR = CQ = 7 なので、問題文に矛盾があります。CR=10ではなくCR=7として進めます。

DR = DQ = 10 なので、

AD = AR + DR = 3 + 10 = 13

BC = BP + CP = 8 + 7 = 15

CD = CQ + DQ = 7 + 10 = 17

AB = AS + BS = 3 + 8 = 11

BR = BP = x が成り立つはずですが、BP=8なので、x=8です。

しかし、CR=10でなくCR=7とすると、x=10ではありません。

再度、CR=10として計算します。

BC = BP + CP = x + 10

3. 最終的な答え

問題文に矛盾があるため、xの値を一意に決定できません。

## 問題2 (1)

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心です。∠OBC=25°, ∠BOC=124° のとき、∠BAC=xの大きさを求めます。

2. 解き方の手順

外心は三角形の外接円の中心なので、OB=OCです。したがって、三角形OBCは二等辺三角形です。

∠OBC = ∠OCB = 25°

三角形の内角の和は180°なので、∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°

124° + 25° + 25° = 174° ≠ 180°

問題がおかしいですが、∠BOC = 2 * ∠BAC となるので、∠BAC = ∠BOC / 2 = 124° / 2 = 62°

よって、x = 62°。

3. 最終的な答え

x = 62°

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

点Iは三角形ABCの内心です。∠ABC=32°, ∠BAC=46° のとき、∠BIC=xの大きさを求めます。

2. 解き方の手順

内心は三角形の内角の二等分線の交点です。

∠IBC = ∠ABC / 2 = 32° / 2 = 16°

∠ICB = (180° - ∠ABC - ∠BAC) / 2 = (180° - 32° - 46°) / 2 = (180° - 78°) / 2 = 102° / 2 = 51°

∠ACB = 2 * ∠ICB = 2*51° = 102°

三角形の内角の和は180°なので、∠BIC + ∠IBC + ∠ICB = 180°

∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° - 16° - 51° = 180° - 67° = 113°

したがって、x = 113°

3. 最終的な答え

x = 113°

## 問題2 (3)

1. 問題の内容

点Iは三角形ABCの内心です。∠BAC=78°, ∠IBC=22° のとき、∠ICB=y, ∠BIC=xの大きさを求めます。

2. 解き方の手順

内心は三角形の内角の二等分線の交点です。

∠ABC = 2 * ∠IBC = 2 * 22° = 44°

∠ICB = y = (180° - ∠BAC - ∠ABC) / 2 = (180° - 78° - 44°) / 2 = (180° - 122°) / 2 = 58° / 2 = 29°

∠ACB = 2 * ∠ICB = 2*29° = 58°

三角形の内角の和は180°なので、∠BIC + ∠IBC + ∠ICB = 180°

∠BIC = x = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° - 22° - 29° = 180° - 51° = 129°

したがって、x = 129°, y = 29°

3. 最終的な答え

x = 129°, y = 29°

## 問題4 (1)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、∠BAC=30°, BC=5cmのとき、外接円の半径を求めます。

2. 解き方の手順

正弦定理を利用します。

$\frac{BC}{\sin{A}} = 2R$

ここで、Rは外接円の半径です。

$\frac{5}{\sin{30^\circ}} = 2R$

$\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{5}{1/2} = 2R$

$10 = 2R$

$R = 5$

3. 最終的な答え

5cm