三角形OABにおいて、OA=2, OB=3, $\cos\angle AOB = -\frac{1}{6}$である。辺OAの中点をM、辺ABの中点をN、辺ABを2:1に内分する点をCとする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$とする。 (1) $\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$を用いて表せ。また、内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ。 (2) 直線MN上に点Pを、$\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN}$（kは実数）を満たすようにとる。$\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{AB}$であるとき、kの値を求めよ。 (3) (2)のとき、直線APと直線OBの交点をRとする。$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。また、$\cos \angle BRN$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=2, OB=3, $\cos\angle AOB = -\frac{1}{6}$である。辺OAの中点をM、辺ABの中点をN、辺ABを2:1に内分する点をCとする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$とする。

(1) $\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$を用いて表せ。また、内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ。

(2) 直線MN上に点Pを、$\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN}$（kは実数）を満たすようにとる。$\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{AB}$であるとき、kの値を求めよ。

(3) (2)のとき、直線APと直線OBの交点をRとする。$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{b}$を用いて表せ。また、$\cos \angle BRN$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Cは辺ABを2:1に内分する点なので、

$\overrightarrow{OC} = \frac{1\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \angle AOB = 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{6}) = -1$

(2)

点MはOAの中点なので、$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

点NはABの中点なので、$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = (\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}) - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN} = \frac{k}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{k}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} = (\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{k}{2}\overrightarrow{b}) - (\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})\overrightarrow{a} + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\overrightarrow{b} = \frac{1}{6}\overrightarrow{a} + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{AB}$なので、$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$(\frac{1}{6}\overrightarrow{a} + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = 0$

$\frac{1}{6}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \frac{1}{6}|\overrightarrow{a}|^2 + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})|\overrightarrow{b}|^2 - (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$

$\frac{1}{6}(-1) - \frac{1}{6}(2^2) + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})(3^2) - (\frac{k}{2} - \frac{2}{3})(-1) = 0$

$-\frac{1}{6} - \frac{4}{6} + 9(\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) = 0$

$-\frac{5}{6} + 10(\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) = 0$

$10(\frac{k}{2} - \frac{2}{3}) = \frac{5}{6}$

$\frac{k}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

$\frac{k}{2} = \frac{1}{12} + \frac{2}{3} = \frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

(3)

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{3/2}{2}\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}$

点Rは直線AP上にあるので、実数sを用いて、$\overrightarrow{AR} = s\overrightarrow{AP}$と表せる。

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AR} = \overrightarrow{a} + s\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{a} + s(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{a} + s(\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} + s(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}) = (1 - \frac{s}{2})\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}s\overrightarrow{b}$

点Rは直線OB上にあるので、$\overrightarrow{OR} = t\overrightarrow{b}$と表せる。

よって、$(1 - \frac{s}{2})\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}s\overrightarrow{b} = t\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は一次独立なので、

$1 - \frac{s}{2} = 0$ かつ $\frac{3}{4}s = t$

$1 = \frac{s}{2}$より、$s = 2$

$t = \frac{3}{4}(2) = \frac{3}{2}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OB} = \frac{3}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

$\cos \angle BRN = \frac{\overrightarrow{BR} \cdot \overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{BR}||\overrightarrow{BN}|} = \frac{\frac{1}{2}\overrightarrow{b} \cdot (\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b})}{|\frac{1}{2}\overrightarrow{b}||\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}|} = \frac{\frac{1}{4}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \frac{1}{4}|\overrightarrow{b}|^2}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}|\frac{1}{2}|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|} = \frac{\frac{1}{4}(-1) - \frac{1}{4}(3^2)}{\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|} = \frac{-\frac{1}{4} - \frac{9}{4}}{\frac{1}{4}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|} = \frac{-\frac{10}{4}}{\frac{1}{4}(3)|\overrightarrow{AB}|} = \frac{-10}{3\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}|}} = \frac{-10}{3\sqrt{2^2 + 3^2 - 2(-1)}} = \frac{-10}{3\sqrt{4 + 9 + 2}} = \frac{-10}{3\sqrt{15}} = -\frac{10\sqrt{15}}{45} = -\frac{2\sqrt{15}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$

(2) $k = \frac{3}{2}$

(3) $\overrightarrow{OR} = \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$, $\cos \angle BRN = -\frac{2\sqrt{15}}{9}$