直角三角形ABCがあり、$BC=6cm$、$\angle BCA=90^{\circ}$である。 (1) $AB=11cm$のとき、三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。 (2) $AB=12cm$のとき、三角形ABCを直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、$BC=6cm$、$\angle BCA=90^{\circ}$である。

(1) $AB=11cm$のとき、三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

(2) $AB=12cm$のとき、三角形ABCを直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $AB=11cm$のとき

ピタゴラスの定理より、$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{11^2 - 6^2} = \sqrt{121-36} = \sqrt{85}$。

回転体は底面の半径が$AC = \sqrt{85}cm$、高さが$BC = 6cm$の円錐である。

円錐の体積は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$で与えられる。

$V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{85})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 85 \cdot 6 = 2 \pi \cdot 85 = 170\pi$

(2) $AB=12cm$のとき

ピタゴラスの定理より、$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144-36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

ABを軸として回転させた時の体積を求める。点Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとする。CHの長さをhとする。三角形ABCの面積を2通りで表すと、

$\frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times AB \times CH$

$6 \times 6\sqrt{3} = 12 \times h$

$36\sqrt{3} = 12h$

$h = 3\sqrt{3}$

体積は2つの円錐を合わせた形になり、それぞれの底面の半径は$3\sqrt{3}$である。

2つの円錐の高さはそれぞれAHとBH。

三角形ACHと三角形BCHはそれぞれ直角三角形であるから、

$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{108 - 27} = \sqrt{81} = 9$

$BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3$

体積は $V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \times 9 + \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \times 3 = \frac{1}{3} \pi (27 \times 9 + 27 \times 3) = \frac{1}{3} \pi (243 + 81) = \frac{1}{3} \pi \times 324 = 108\pi$

3. 最終的な答え

(1) $170\pi cm^3$

(2) $108\pi cm^3$