直線 $y = 3x + \frac{3}{2}$ と点 $A(4, 5)$ の距離を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = 3x + \frac{3}{2}$ と点 $A(4, 5)$ の距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を使います。直線の方程式を一般形 $ax + by + c = 0$ の形に変形します。

$y = 3x + \frac{3}{2}$ を変形すると、$3x - y + \frac{3}{2} = 0$ となります。

さらに、$6x - 2y + 3 = 0$ とします。

点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は次の公式で与えられます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、点 $A(4, 5)$ と直線 $6x - 2y + 3 = 0$ なので、$x_1 = 4$, $y_1 = 5$, $a = 6$, $b = -2$, $c = 3$ を代入します。

$d = \frac{|6(4) - 2(5) + 3|}{\sqrt{6^2 + (-2)^2}} = \frac{|24 - 10 + 3|}{\sqrt{36 + 4}} = \frac{|17|}{\sqrt{40}} = \frac{17}{\sqrt{40}}$

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$ なので、

$d = \frac{17}{2\sqrt{10}} = \frac{17\sqrt{10}}{2 \times 10} = \frac{17\sqrt{10}}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{17\sqrt{10}}{20}$