円 $x^2 + y^2 + x - 3y = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) この円の中心の座標と半径を求めます。 (2) この円と中心が同じで点 $(2, 1)$ を通る円の方程式を求めます。

## 問題 9

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + x - 3y = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) この円の中心の座標と半径を求めます。

(2) この円と中心が同じで点 $(2, 1)$ を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成します。

$x^2 + x + y^2 - 3y = 0$

$(x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = 0$

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

よって、中心の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ で、半径は $\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ です。

(2) (1)で求めた円の中心 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ を中心とし、点 $(2, 1)$ を通る円の方程式を求めます。

円の方程式は、 $(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = r^2$ と表せます。点 $(2, 1)$ を通るので、

$(2 + \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 = r^2$

$(\frac{5}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = r^2$

$\frac{25}{4} + \frac{1}{4} = r^2$

$r^2 = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$

したがって、求める円の方程式は、$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$、半径: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

(2) $(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{2}$