円 $x^2 + y^2 + x - 3y = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) この円の中心の座標と半径を求めます。 (2) この円と中心が同じで点 $(2, 1)$ を通る円の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**問題9**

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + x - 3y = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) この円の中心の座標と半径を求めます。

(2) この円と中心が同じで点 $(2, 1)$ を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式を平方完成します。

$x^2 + x + y^2 - 3y = 0$

$(x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = 0$

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

よって、中心の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$、半径は $\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ です。

(2)

中心が $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ であり、点 $(2, 1)$ を通る円の方程式を求めます。

円の半径 $r$ は、中心と点 $(2, 1)$ の距離で求められます。

$r^2 = (2 - (-\frac{1}{2}))^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$

よって、求める円の方程式は、

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$、半径は $\frac{\sqrt{10}}{2}$

(2) $(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{2}$

**問題10**

1. 問題の内容

3点 $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$, $C(0, 5)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の外心の座標を求めます。

2. 解き方の手順

外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。

まず、辺 $AB$ の垂直二等分線を求めます。

$AB$ の中点は $(\frac{-2+1}{2}, \frac{1+4}{2}) = (-\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

$AB$ の傾きは $\frac{4-1}{1-(-2)} = \frac{3}{3} = 1$

$AB$ の垂直二等分線の傾きは $-1$

$AB$ の垂直二等分線の方程式は

$y - \frac{5}{2} = -1(x + \frac{1}{2})$

$y = -x - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = -x + 2$

次に、辺 $BC$ の垂直二等分線を求めます。

$BC$ の中点は $(\frac{1+0}{2}, \frac{4+5}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$

$BC$ の傾きは $\frac{5-4}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1$

$BC$ の垂直二等分線の傾きは $1$

$BC$ の垂直二等分線の方程式は

$y - \frac{9}{2} = 1(x - \frac{1}{2})$

$y = x - \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = x + 4$

2つの垂直二等分線の交点を求めます。

$-x + 2 = x + 4$

$2x = -2$

$x = -1$

$y = -1 + 4 = 3$

よって、外心の座標は $(-1, 3)$ です。

3. 最終的な答え

外心の座標は $(-1, 3)$

**問題11**

1. 問題の内容

直線 $y = x - 2$ が円 $x^2 + y^2 = 10$ によって切り取られてできる線分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

直線と円の交点を求めます。

$x^2 + (x - 2)^2 = 10$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 10$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ のとき $y = 3 - 2 = 1$

$x = -1$ のとき $y = -1 - 2 = -3$

交点は $(3, 1)$ と $(-1, -3)$ です。

線分の長さは、2点間の距離で求められます。

$\sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

線分の長さは $4\sqrt{2}$

**問題12**

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ ... (1) と直線 $x + 3y + c = 0$ ... (2) が交わるとします。

(1) 定数 $c$ の値の範囲を求めます。

(2) $c = -5$ とするとき、円(1)と直線(2)の2つの交点と原点Oの3点を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x + 3y + c = 0$ の距離が、円の半径 $\sqrt{5}$ 以下であれば、円と直線は交わります。

距離 $d = \frac{|0 + 3(0) + c|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{10}}$

$\frac{|c|}{\sqrt{10}} \le \sqrt{5}$

$|c| \le \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$-5\sqrt{2} \le c \le 5\sqrt{2}$

(2)

$c = -5$ のとき、直線は $x + 3y - 5 = 0$ です。

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $x + 3y - 5 = 0$ の交点を通る円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 5 + k(x + 3y - 5) = 0$ と表されます。

この円が原点を通ることから、$x = 0$, $y = 0$ を代入すると、

$0 + 0 - 5 + k(0 + 0 - 5) = 0$

$-5 - 5k = 0$

$k = -1$

したがって、求める円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 5 - (x + 3y - 5) = 0$

$x^2 + y^2 - x - 3y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-5\sqrt{2} \le c \le 5\sqrt{2}$

(2) $x^2 + y^2 - x - 3y = 0$

**問題13**

1. 問題の内容

点 $(4, 2)$ から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた2つの接線の接点をA, Bとします。

(1) 2点A, Bの座標を求めます。

(2) 直線ABの方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = 10$ です。

この接線が点 $(4, 2)$ を通るので、

$4x_1 + 2y_1 = 10$

$2x_1 + y_1 = 5$

$y_1 = 5 - 2x_1$

点 $(x_1, y_1)$ は円上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 10$

$x_1^2 + (5 - 2x_1)^2 = 10$

$x_1^2 + 25 - 20x_1 + 4x_1^2 = 10$

$5x_1^2 - 20x_1 + 15 = 0$

$x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0$

$(x_1 - 1)(x_1 - 3) = 0$

$x_1 = 1, 3$

$x_1 = 1$ のとき $y_1 = 5 - 2(1) = 3$

$x_1 = 3$ のとき $y_1 = 5 - 2(3) = -1$

したがって、2点A, Bの座標は $(1, 3)$ と $(3, -1)$ です。

(2)

2点 $(1, 3)$ と $(3, -1)$ を通る直線の方程式を求めます。

傾きは $\frac{-1 - 3}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$

直線の方程式は $y - 3 = -2(x - 1)$

$y = -2x + 2 + 3$

$y = -2x + 5$

$2x + y - 5 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 2点A, Bの座標は $(1, 3)$ と $(3, -1)$

(2) 直線ABの方程式は $2x + y - 5 = 0$

**問題14**

問題文が途中で途切れているため、解くことができません。

以上です。