長さが2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 5cmの5本の棒がある。 (1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか。 (2) この中から3本を選んで三角形を作るとき、三角形は全部で何通りできるか。

1. 問題の内容

長さが2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 5cmの5本の棒がある。

(1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りあるか。

(2) この中から3本を選んで三角形を作るとき、三角形は全部で何通りできるか。

2. 解き方の手順

(1) 5本の棒から3本を選ぶ組み合わせの総数を求める。ただし、同じ長さの棒が2本あることに注意する。

5本から3本を選ぶ組み合わせの総数は、重複を許さない組み合わせの公式 $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ を用いて計算できる。

しかし、今回は同じ長さの棒があるため、地道に数え上げる方が確実である。

* 2, 3, 4

* 2, 3, 5

* 2, 4, 5

* 3, 4, 5

* 2, 5, 5

* 3, 5, 5

* 4, 5, 5

以上より、選び方は全部で10通りである。

(2) 三角形が成立するための条件は、最も長い辺の長さが、他の2辺の長さの和より短いことである。上記の組み合わせの中から、三角形が成立するものを探す。

* 2, 3, 4 : 2 + 3 > 4, よって三角形が成立する。

* 2, 3, 5 : 2 + 3 = 5, よって三角形が成立しない。

* 2, 4, 5 : 2 + 4 > 5, よって三角形が成立する。

* 3, 4, 5 : 3 + 4 > 5, よって三角形が成立する。

* 2, 5, 5 : 2 + 5 > 5, よって三角形が成立する。

* 3, 5, 5 : 3 + 5 > 5, よって三角形が成立する。

* 4, 5, 5 : 4 + 5 > 5, よって三角形が成立する。

5, 5, 5は5+5>5より、三角形が成立する。

したがって、三角形が成立するのは、2, 3, 4、2, 4, 5、3, 4, 5、2, 5, 5、3, 5, 5、4, 5, 5の6通りである。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 6通り