(1) 2次関数 $f(x)$ が $f'(0) = 1$, $f'(1) = 2$ を満たすとき, $f'(2)$ の値を求めよ。 (2) 3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $(x-2)f'(x) = 3f(x)$ を満たすとき, $a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $f(x)$ が $f'(0) = 1$, $f'(1) = 2$ を満たすとき, $f'(2)$ の値を求めよ。

(2) 3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $(x-2)f'(x) = 3f(x)$ を満たすとき, $a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ は2次関数なので、$f'(x)$ は1次関数である。そこで、$f'(x) = px + q$ とおく。

$f'(0) = 1$ より、$p \cdot 0 + q = 1$ なので $q = 1$.

$f'(1) = 2$ より、$p \cdot 1 + q = 2$ なので、$p + 1 = 2$, よって $p = 1$.

したがって、$f'(x) = x + 1$ である。

$f'(2) = 2 + 1 = 3$.

(2) $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ なので、$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ である。

$(x-2)f'(x) = 3f(x)$ より、

$(x-2)(3x^2 + 2ax + b) = 3(x^3 + ax^2 + bx + c)$

$3x^3 + 2ax^2 + bx - 6x^2 - 4ax - 2b = 3x^3 + 3ax^2 + 3bx + 3c$

$3x^3 + (2a-6)x^2 + (b-4a)x - 2b = 3x^3 + 3ax^2 + 3bx + 3c$

両辺の係数を比較すると、

$2a - 6 = 3a$

$b - 4a = 3b$

$-2b = 3c$

$2a - 6 = 3a$ より $a = -6$.

$b - 4a = 3b$ より $-2b = -4a$, よって $b = 2a = -12$.

$-2b = 3c$ より $3c = -2(-12) = 24$, よって $c = 8$.

したがって、$a = -6, b = -12, c = 8$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f'(2) = 3$

(2) $a = -6, b = -12, c = 8$