$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ , $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求めよ。 (1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (2) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ , $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、以下の2つの式の値を求めよ。

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

(2) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ の値を求める。

まず、与えられた $x$ と $y$ を用いて $\frac{1}{x}$ と $\frac{1}{y}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

次に、$\frac{1}{x}$ と $\frac{1}{y}$ の分母を有理化する。

$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

したがって、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

(2) $x^3 + y^3$ の値を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

または

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

まず、$x+y$ と $xy$ を計算する。

$x+y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$

したがって、

$x^3 + y^3 = (2\sqrt{3})^3 - 3(1)(2\sqrt{3}) = 8(3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\sqrt{3}$

(2) $x^3 + y^3 = 18\sqrt{3}$