点A(2, 0, 1)を通り、法線ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に垂直な平面のベクトル方程式を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 0, 1)を通り、法線ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に垂直な平面のベクトル方程式を求める。

2. 解き方の手順

平面上の任意の点をP(x, y, z)とする。

$\vec{AP}$ は平面上のベクトルであり、$\vec{n}$ は平面の法線ベクトルであるから、$\vec{AP}$ と $\vec{n}$ は直交する。

したがって、$\vec{AP} \cdot \vec{n} = 0$ が成り立つ。

$\vec{AP} = \begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 0 \\ z - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 2 \\ y \\ z - 1 \end{pmatrix}$ である。

$\vec{AP} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} x - 2 \\ y \\ z - 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$

$2(x - 2) + 1(y) + 3(z - 1) = 0$

$2x - 4 + y + 3z - 3 = 0$

$2x + y + 3z - 7 = 0$

$2x + y + 3z = 7$

3. 最終的な答え

$2x + y + 3z = 7$