与えられた積分を計算します。 $\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{2+x-x^2}}dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{2+x-x^2}}dx$

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成します。

$2+x-x^2 = 2 - (x^2 - x) = 2 - (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2 + \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{\frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2}}dx$

次に、変数変換を行います。$x+1 = \frac{3}{2}\sec\theta$ と置くと、$dx = \frac{3}{2}\sec\theta \tan\theta d\theta$となり、$x = \frac{3}{2}\sec\theta - 1$ であり、$x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sec\theta - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(\sec\theta - 1)$です。

したがって、

$\sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} - (\frac{3}{2}(\sec\theta - 1))^2} = \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{9}{4}(\sec\theta - 1)^2} = \frac{3}{2}\sqrt{1-(\sec\theta - 1)^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2\sec\theta - \sec^2\theta}$

別の変数変換を行います。$u = \frac{1}{x+1}$と置換すると、$du = -\frac{1}{(x+1)^2} dx$ となります。また、$x = \frac{1}{u} - 1$ なので、

$2+x-x^2 = 2 + (\frac{1}{u}-1) - (\frac{1}{u}-1)^2 = 2 + \frac{1}{u} - 1 - (\frac{1}{u^2} - \frac{2}{u} + 1) = 2 + \frac{1}{u} - 1 - \frac{1}{u^2} + \frac{2}{u} - 1 = \frac{3}{u} - \frac{1}{u^2} = \frac{3u-1}{u^2}$

よって、

$\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{2+x-x^2}}dx = \int \frac{u}{\sqrt{\frac{3u-1}{u^2}}} (-\frac{1}{u^2})du = -\int \frac{u^2}{\sqrt{3u-1}}\frac{1}{u^2} du = -\int \frac{1}{\sqrt{3u-1}} du$

ここで、$v = 3u-1$とおくと、$dv = 3du$となり、$du = \frac{1}{3}dv$

$-\int \frac{1}{\sqrt{3u-1}} du = -\int \frac{1}{\sqrt{v}} \frac{1}{3}dv = -\frac{1}{3}\int v^{-\frac{1}{2}}dv = -\frac{1}{3}\frac{v^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{v} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{3u-1} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{x+1}-1} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3-(x+1)}{x+1}} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2-x}{x+1}}+C$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3} \sqrt{\frac{2-x}{1+x}} + C$