$x = a \tan t$ ($a$ は正の定数) とおいて、定積分 $\int_{0}^{a} \frac{x^2}{(x^2 + a^2)^2} dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = a \tan t$ ($a$ は正の定数) とおいて、定積分 $\int_{0}^{a} \frac{x^2}{(x^2 + a^2)^2} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換 $x = a \tan t$ を用いて、積分範囲と $dx$ を変換します。

$x = a \tan t$ より、 $dx = a \sec^2 t dt$ です。

積分範囲は、

$x = 0$ のとき、 $a \tan t = 0$ なので、$t = 0$。

$x = a$ のとき、 $a \tan t = a$ なので、$\tan t = 1$。よって、$t = \frac{\pi}{4}$。

したがって、積分範囲は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ に変わります。

次に、積分の中身を $t$ で表します。

$x^2 = a^2 \tan^2 t$ であり、$x^2 + a^2 = a^2 \tan^2 t + a^2 = a^2 (\tan^2 t + 1) = a^2 \sec^2 t$ です。

したがって、

$\frac{x^2}{(x^2 + a^2)^2} dx = \frac{a^2 \tan^2 t}{(a^2 \sec^2 t)^2} a \sec^2 t dt = \frac{a^3 \tan^2 t \sec^2 t}{a^4 \sec^4 t} dt = \frac{\tan^2 t}{a \sec^2 t} dt = \frac{\sin^2 t}{a \cos^2 t} \cos^2 t dt = \frac{\sin^2 t}{a} dt$

よって、積分は

$\int_{0}^{a} \frac{x^2}{(x^2 + a^2)^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 t}{a} dt = \frac{1}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t dt$

ここで、$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ を用いると、

$\frac{1}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2a} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos 2t) dt = \frac{1}{2a} [t - \frac{1}{2} \sin 2t]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2a} [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0)] = \frac{1}{2a} [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}] = \frac{1}{2a} (\frac{\pi - 2}{4}) = \frac{\pi - 2}{8a}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi - 2}{8a}$