50個以上あるあめ玉がある。生徒に5個ずつ配ると16個余り、7個ずつ配ると何個か余り、8個ずつ配ると何個か足りなくなる。あめ玉の個数を求める。

1. 問題の内容

50個以上あるあめ玉がある。生徒に5個ずつ配ると16個余り、7個ずつ配ると何個か余り、8個ずつ配ると何個か足りなくなる。あめ玉の個数を求める。

2. 解き方の手順

生徒の人数を $x$ 人、あめ玉の個数を $y$ 個とする。

* 5個ずつ配ると16個余ることから、以下の式が成り立つ。

$y = 5x + 16$

* 8個ずつ配ると足りなくなることから、$y < 8x$である。

* 7個ずつ配ると余りが出ることから、$y > 7x$である。

$y = 5x + 16$ より $x = \frac{y - 16}{5}$

$7x < y < 8x$に代入する。

$7(\frac{y - 16}{5}) < y < 8(\frac{y - 16}{5})$

$7y - 112 < 5y$ かつ $5y < 8y - 128$

$2y < 112$ かつ $3y > 128$

$y < 56$ かつ $y > \frac{128}{3} = 42.666...$

$42.666... < y < 56$

$y$ は50以上であるため、$50 \le y < 56$

$y = 5x + 16$より、$y - 16$ は5の倍数である。

50から55までの範囲で考えると、$50 - 16 = 34$ (5の倍数でない)

$51 - 16 = 35$ (5の倍数)

$52 - 16 = 36$ (5の倍数でない)

$53 - 16 = 37$ (5の倍数でない)

$54 - 16 = 38$ (5の倍数でない)

$55 - 16 = 39$ (5の倍数でない)

したがって、$y = 51$

$x = \frac{51 - 16}{5} = \frac{35}{5} = 7$

7個ずつ配ると、$51 - 7 * 7 = 2$ 余り。

8個ずつ配ると、$8 * 7 = 56 > 51$ となり、5個不足する。

3. 最終的な答え

51個