## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

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7. 右の図のような道路があるとき、次の最短経路は何通りあるか。

(1) AからBまで行く。

(2) AからPを通ってBまで行く。

(3) Qが通れないとき、AからBまで行く。

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8. 右の図のような道路があるとき、AからBまで行く最短経路は全部で何通りあるか。

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2. 解き方の手順

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7. (1) AからBまで行く**

最短経路は、右に5回、上に4回進むことになるので、合計9回の移動のうち、どちらをいつ選ぶかを考える問題です。

組み合わせの考え方を用いると、9回の移動のうち上に進む4回を選ぶ場合の数を計算します。

$_{9}C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

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7. (2) AからPを通ってBまで行く**

AからPまで行き、PからBまで行く経路数をそれぞれ計算し、掛け合わせます。

AからPまでは右に2回、上に2回進むので、合計4回の移動のうち、上に進む2回を選ぶ場合の数を計算します。

$_{4}C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

PからBまでは右に3回、上に2回進むので、合計5回の移動のうち、上に進む2回を選ぶ場合の数を計算します。

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

AからPを通ってBまで行く経路数は、$6 \times 10 = 60$

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7. (3) Qが通れないとき、AからBまで行く**

AからBまでのすべての経路数から、Qを通る経路数を引きます。

AからBまでのすべての経路数は、(1)で求めた126通りです。

AからQまで行き、QからBまで行く経路数をそれぞれ計算し、掛け合わせます。

AからQまでは右に3回、上に2回進むので、合計5回の移動のうち、上に進む2回を選ぶ場合の数を計算します。

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

QからBまでは右に2回、上に2回進むので、合計4回の移動のうち、上に進む2回を選ぶ場合の数を計算します。

$_{4}C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

AからQを通ってBまで行く経路数は、$10 \times 6 = 60$

Qを通らない経路数は、$126 - 60 = 66$

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8. AからBまで行く最短の道順**

この問題は、各交差点に到達する経路の数を書き込んでいくことで解くことができます。左下から順に、各交差点に到達する方法の数を足し上げていくことで、最終的にBに到達する方法の数を求めます。

Aから右と上の交差点には1通りずつ。

Aから2つ右の交差点には1通り。その上の交差点には1+1=2通り。

Aから3つ右の交差点には1通り。その上の交差点には2+1=3通り。さらに上の交差点には3+1=4通り。

同様に計算を続けるとBへ到達する方法は20通りと計算できます。

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3. 最終的な答え

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7. (1) 126通り

(2) 60通り

(3) 66通り

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8. 20通り