問題は、平方根に関する複数の小問から構成されています。 1. 正しい選択肢を選ぶ問題

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、平方根に関する複数の小問から構成されています。

1. 正しい選択肢を選ぶ問題

2. 平方根の計算問題

3. 数の大小を比較する問題

4. $\sqrt{2}$ の近似値を使った計算問題

5. 平方根が自然数になる条件や、与えられた値を使った式の値を求める問題

2. 解き方の手順

問題ごとに手順を説明します。

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1. 正しい選択肢を選ぶ問題**

ア： $\sqrt{81} = 9$ の平方根は $\pm 3$。よって正しい。

イ： 無限小数で表される数は、無理数とは限りません。例えば、循環小数 $0.333... = \frac{1}{3}$ は有理数です。よって誤り。

ウ： 円周率$\pi$ は無理数です。よって正しい。

エ： 例えば、整数2と無理数$\sqrt{2}$の積 $2\sqrt{2}$ は無理数ですが、整数0と無理数$\sqrt{2}$ の積 $0\sqrt{2} = 0$ は整数です。よって誤り。

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2. 平方根の計算問題**

(1) $\sqrt{18} \div \sqrt{10} \times \sqrt{15} = \frac{\sqrt{18} \times \sqrt{15}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{18 \times 15}{10}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{75} - \sqrt{12} - 2\sqrt{27} = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{28} - 14 \times \sqrt{3 \div 2} = 2\sqrt{7} - 14 \times \frac{\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{7} - 7\sqrt{6}$

(4) $-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} + \sqrt{8} = -\frac{4\sqrt{3}\sqrt{6}}{6} + 2\sqrt{2} = -\frac{4\sqrt{18}}{6} + 2\sqrt{2} = -\frac{4 \times 3\sqrt{2}}{6} + 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 0$

(5) $(6\sqrt{5} - \sqrt{120}) \div 2\sqrt{15} = (6\sqrt{5} - 2\sqrt{30}) \div 2\sqrt{15} = \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{15}} - \frac{2\sqrt{30}}{2\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(6) $\sqrt{2}(\sqrt{2}-3) + \sqrt{3} \times \sqrt{6} = 2 - 3\sqrt{2} + \sqrt{18} = 2 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2$

(7) $(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-6) - (\sqrt{3}-1)^2 = (3 - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 24) - (3 - 2\sqrt{3} + 1) = -21 - 2\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} = -25$

(8) $(\sqrt{20}-\sqrt{8})(\sqrt{2}+\sqrt{5}) = (2\sqrt{5}-2\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{5}) = 2\sqrt{10} + 10 - 4 - 2\sqrt{10} = 6$

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3. 数の大小を比較する問題**

(1) $-5, -6, -\sqrt{30}$

$-\sqrt{30} \approx -5.48$

$-6 < -5 < -\sqrt{30}$

(2) $\sqrt{0.2}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}$

$\sqrt{0.2} \approx 0.447$

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} \approx 0.707$

$\frac{1}{2} = 0.5$

$\sqrt{0.2} < \frac{1}{2} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

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4. $\sqrt{2}$ の近似値を使った計算問題**

(1) $\sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} = 20 \times 1.414 = 28.28$

(2) $\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} = 3 \times 1.414 = 4.242$

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5. 平方根が自然数になる条件や、与えられた値を使った式の値を求める問題**

(1) $\sqrt{54n}$ が自然数となるような2桁の自然数 $n$ を求める。

$54n = 2 \times 3^3 \times n$ なので、$n = 2 \times 3 \times k^2 = 6k^2$ (kは自然数) の形であればよい。

$n$が2桁の自然数なので $10 \leq 6k^2 \leq 99$

$\frac{10}{6} \leq k^2 \leq \frac{99}{6}$

$1.66 \leq k^2 \leq 16.5$

$k = 2, 3, 4$

$n = 6 \times 2^2 = 24$

$n = 6 \times 3^2 = 54$

$n = 6 \times 4^2 = 96$

(2) $x = \sqrt{3} + 2$ のとき、$x^2 - 4x + 2$ の値を求める。

$x - 2 = \sqrt{3}$

$(x-2)^2 = 3$

$x^2 - 4x + 4 = 3$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

$x^2 - 4x + 2 = x^2 - 4x + 1 + 1 = 0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

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1. 正しい選択肢を選ぶ問題**

ア、ウ

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2. 平方根の計算問題**

(1) $3\sqrt{3}$

(2) $-3\sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{7} - 7\sqrt{6}$

(4) $0$

(5) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(6) $2$

(7) $-25$

(8) $6$

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3. 数の大小を比較する問題**

(1) $-6 < -5 < -\sqrt{30}$

(2) $\sqrt{0.2} < \frac{1}{2} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

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4. $\sqrt{2}$ の近似値を使った計算問題**

(1) $28.28$

(2) $4.242$

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5. 平方根が自然数になる条件や、与えられた値を使った式の値を求める問題**

(1) $n = 24, 54, 96$

(2) $1$