A, B, C, D, Eの5人が1回じゃんけんをするとき、あいこになる確率を求める問題です。

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5人が1回じゃんけんをするとき、あいこになる確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、5人それぞれが出せる手の数はグー、チョキ、パーの3通りなので、全部で $3^5 = 243$ 通りの手の出し方があります。

次に、あいこになる場合を考えます。あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、3種類の手がすべて出るかのどちらかです。

* 全員が同じ手を出す場合：

5人全員がグー、チョキ、パーのいずれかを出すので、3通りです。

* 3種類の手がすべて出る場合：

まず、5人のうち誰がどの手を出すかを考えます。

3種類の手がすべて出るには、例えば「グー1人、チョキ2人、パー2人」のように、少なくとも1人は各々の手を出す必要があります。

しかし、誰がどの手を出すかという組み合わせを直接数えるのは難しいので、余事象を考えます。

勝負が決まる場合を考えます。

勝負が決まるのは、全員が同じ手を出す場合を除いて、2種類の手が出た場合のみです。

2種類の手が出る場合、

(a) どちらか一方の手が1人だけの場合： ${}_5C_1 \times 2$ 通り (1人だけ出す手の選び方 ${}_5C_1$ 通り、出す手の組み合わせ2通り)

(b) どちらか一方の手が2人だけの場合： ${}_5C_2 \times 2$ 通り (2人だけ出す手の選び方 ${}_5C_2$ 通り、出す手の組み合わせ2通り)

(c) どちらか一方の手が3人だけの場合： ${}_5C_3 \times 2$ 通り (3人だけ出す手の選び方 ${}_5C_3$ 通り、出す手の組み合わせ2通り)

(d) どちらか一方の手が4人だけの場合： ${}_5C_4 \times 2$ 通り (4人だけ出す手の選び方 ${}_5C_4$ 通り、出す手の組み合わせ2通り)

よって、勝負が決まる場合は $({}_5C_1 + {}_5C_2 + {}_5C_3 + {}_5C_4) \times 2 = (5 + 10 + 10 + 5) \times 2 = 30 \times 2 = 60$ 通りです。

したがって、あいこになる場合は (全員が同じ手を出す場合) + (3種類の手がすべて出る場合) = (全通り) - (勝負が決まる場合)

あいこになる場合の数は $243 - 60 = 183$ 。しかしこれには全員が同じ手を出す3通りが含まれていないので、余事象を考えるのは誤り。

あいこになるのは、

(i) 3種類の手が出る

(ii) 2種類の手が出て、そのどちらの手も複数人いる。

(i) 3種類の手が出る場合の数を求める。これは難しい。

あいこになる確率 = 1 - (勝負が決まる確率)

勝負が決まるのは、全員が同じ手を出す場合を除いて、2種類の手が出た場合。

2種類の手が出る確率は $\frac{60}{243} = \frac{20}{81}$

全員が同じ手を出す確率は $\frac{3}{243} = \frac{1}{81}$

勝負が決まる確率 = $\frac{20}{81} + \frac{1}{81} = \frac{61}{243}$

あいこになる確率 = $1 - \frac{61}{243} = \frac{243 - 61}{243} = \frac{182}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{182}{243}$