点Pは数直線上の原点にある。サイコロを振って5以上の目が出れば点Pを正の向きに2だけ動かし、それ以外の目が出たら負の向きに1だけ動かす、という操作を3回行った。 (1) 点Pの座標が3である確率を求めよ。 (2) 点Pの座標をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

点Pは数直線上の原点にある。サイコロを振って5以上の目が出れば点Pを正の向きに2だけ動かし、それ以外の目が出たら負の向きに1だけ動かす、という操作を3回行った。

(1) 点Pの座標が3である確率を求めよ。

(2) 点Pの座標をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロを振って5以上の目が出る確率を$p$とすると、$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

それ以外の目が出る確率は$1 - p = \frac{2}{3}$である。

3回の操作で点Pの座標が3になるのは、正の向きに2だけ動く操作を2回、負の向きに1だけ動く操作を1回行う場合である。この確率は、3回のうち2回が正の向きに2だけ動く操作になる確率であるから、二項分布で考えることができる。

求める確率は、

${}_3 C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^1 = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

(2)

Xの期待値を$E(X)$とする。

正の向きに2だけ動く回数を$k$とすると、$X = 2k - (3-k) = 3k - 3$となる。

$k$は二項分布$B(3, \frac{1}{3})$に従うので、$k$の期待値は$E(k) = 3 \times \frac{1}{3} = 1$となる。

したがって、$E(X) = E(3k - 3) = 3E(k) - 3 = 3 \times 1 - 3 = 0$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) 0