袋の中に青玉2個、白玉2個、赤玉1個が入っている。玉を1個取り出して袋に戻し、再び玉を1個取り出す。最初の玉に対応する確率変数を$X$、次の玉に対応する確率変数を$Y$とする。青玉のとき$X=0$、$Y=0$、白玉のとき$X=1$、$Y=1$、赤玉のとき$X=2$、$Y=2$とする。$P(XY=1)$と$P(XY=0)$の値を求める問題である。

1. 問題の内容

袋の中に青玉2個、白玉2個、赤玉1個が入っている。玉を1個取り出して袋に戻し、再び玉を1個取り出す。最初の玉に対応する確率変数を$X$、次の玉に対応する確率変数を$Y$とする。青玉のとき$X=0$、$Y=0$、白玉のとき$X=1$、$Y=1$、赤玉のとき$X=2$、$Y=2$とする。$P(XY=1)$と$P(XY=0)$の値を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$P(XY=1)$となるのは、$X=1$かつ$Y=1$の場合のみである。

$X=1$となるのは、最初の玉が白玉の場合で、その確率は $\frac{2}{5}$である。

$Y=1$となるのは、次の玉が白玉の場合で、袋に戻しているため、その確率は $\frac{2}{5}$である。

したがって、$P(XY=1) = P(X=1) \times P(Y=1) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$となる。

次に、$P(XY=0)$となるのは、$X=0$または$Y=0$の場合である。

$XY = 0$となるのは、以下の3つの場合である。

(i) $X=0$かつ$Y=0$: 最初の玉が青玉で、次の玉も青玉。確率は$\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$。

(ii) $X=0$かつ$Y \neq 0$: 最初の玉が青玉で、次の玉が白玉または赤玉。確率は$\frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$。

(iii) $X \neq 0$かつ$Y=0$: 最初の玉が白玉または赤玉で、次の玉が青玉。確率は$\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}$。

したがって、$P(XY=0) = \frac{4}{25} + \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{16}{25}$となる。

または、$P(XY=0) = 1 - P(XY \neq 0) = 1 - P(XY=1) - P(XY=4)$.

$XY=4$となるのは$X=2$かつ$Y=2$の場合のみである。

$P(X=2) = \frac{1}{5}$。

$P(Y=2) = \frac{1}{5}$。

$P(XY=4) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$。

したがって、$P(XY=0) = 1 - \frac{4}{25} - \frac{1}{25} = 1 - \frac{5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{16}{25}$.

なので、計算ミスがありました。

あるいは、$XY=0$となる場合を直接計算します。

$P(X=0)=\frac{2}{5}$。

$P(Y=0)=\frac{2}{5}$。

$P(X=0 \text{ or } Y=0) = 1 - P(X\ne0 \text{ and } Y\ne0)$.

$P(X\ne0) = \frac{3}{5}$

$P(Y\ne0) = \frac{3}{5}$

$P(X\ne0 \text{ and } Y\ne0) = \frac{9}{25}$.

$P(XY=0) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

3. 最終的な答え

$P(XY=1) = \frac{4}{25}$

$P(XY=0) = \frac{16}{25}$