袋の中に、0と書かれた玉が9個、1と書かれた玉が6個、2と書かれた玉が3個、合計18個の玉が入っている。この袋から玉を1個ずつ2回取り出す。1回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数 $X$ 、2回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数 $Y$ とする。ただし、1回目に取り出した玉は袋に戻さない。$P(XY=1)$、 $P(Y=1)$、および $E(XY)$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に、0と書かれた玉が9個、1と書かれた玉が6個、2と書かれた玉が3個、合計18個の玉が入っている。この袋から玉を1個ずつ2回取り出す。1回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数 $X$ 、2回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数 $Y$ とする。ただし、1回目に取り出した玉は袋に戻さない。$P(XY=1)$、 $P(Y=1)$、および $E(XY)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(XY=1)$ を求める。$XY=1$ となるのは、$X=1$ かつ $Y=1$ のときのみ。

* $P(X=1) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

* $P(Y=1|X=1) = \frac{5}{17}$

* $P(XY=1) = P(X=1) \times P(Y=1|X=1) = \frac{6}{18} \times \frac{5}{17} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{17} = \frac{5}{51}$

(2) $P(Y=1)$ を求める。$Y=1$ となるのは、

* $X=0$ かつ $Y=1$

* $X=1$ かつ $Y=1$

* $X=2$ かつ $Y=1$

のいずれか。

* $P(X=0) = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

* $P(Y=1|X=0) = \frac{6}{17}$

* $P(X=1) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

* $P(Y=1|X=1) = \frac{5}{17}$

* $P(X=2) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

* $P(Y=1|X=2) = \frac{6}{17}$

* $P(Y=1) = P(X=0)P(Y=1|X=0) + P(X=1)P(Y=1|X=1) + P(X=2)P(Y=1|X=2)$

* $P(Y=1) = (\frac{1}{2} \times \frac{6}{17}) + (\frac{1}{3} \times \frac{5}{17}) + (\frac{1}{6} \times \frac{6}{17}) = \frac{3}{17} + \frac{5}{51} + \frac{1}{17} = \frac{9+5+3}{51} = \frac{17}{51} = \frac{1}{3}$

(3) $E(XY)$ を求める。$XY$ の取りうる値は0, 1, 2, 4。

* $XY=0$ となるのは、$X=0$ または $Y=0$ のとき。余事象で考える。

* $P(X \neq 0) = \frac{9}{18}=\frac{1}{2}$.

* $P(Y \neq 0)= 1 - P(Y=0) = 1- (\frac{9}{18} \times \frac{8}{17} + \frac{6}{18} \times \frac{9}{17} + \frac{3}{18} \times \frac{9}{17} ) =1- ( \frac{72+54+27}{18 \times 17}) = 1- (\frac{153}{306}) = 1- (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

$P(XY=1) = \frac{5}{51}$

$XY=2$になるのは、$X=1, Y=2$または、$X=2, Y=1$

$P(X=1, Y=2) = \frac{6}{18} \times \frac{3}{17} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{17} = \frac{1}{17}$

$P(X=2, Y=1) = \frac{3}{18} \times \frac{6}{17} = \frac{1}{6} \times \frac{6}{17} = \frac{1}{17}$

$P(XY=2) = \frac{1}{17} + \frac{1}{17} = \frac{2}{17} = \frac{6}{51}$

$XY=4$になるのは、$X=2, Y=2$

$P(X=2, Y=2) = \frac{3}{18} \times \frac{2}{17} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{17} = \frac{1}{51}$

$E(XY) = 0 \times P(XY=0) + 1 \times P(XY=1) + 2 \times P(XY=2) + 4 \times P(XY=4) = 0 + 1 \times \frac{5}{51} + 2 \times \frac{6}{51} + 4 \times \frac{1}{51} = \frac{5+12+4}{51} = \frac{21}{51} = \frac{7}{17}$

3. 最終的な答え

$P(XY=1) = \frac{5}{51}$

$P(Y=1) = \frac{1}{3}$

$E(XY) = \frac{7}{17}$