袋の中に0と書かれた玉が9個、1と書かれた玉が6個、2と書かれた玉が3個入っている。この袋から玉を1個ずつ2回取り出すとき、1回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数$X$、2回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数$Y$とする。ただし、1回目に取り出した玉は袋に戻さない。このとき、$P(XY=1)$、$P(Y=1)$、$E(XY)$、$a$、$E(X^2)$、$V(X)$、$\sigma(X)$を求める。

1. 問題の内容

袋の中に0と書かれた玉が9個、1と書かれた玉が6個、2と書かれた玉が3個入っている。この袋から玉を1個ずつ2回取り出すとき、1回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数$X$、2回目に取り出した玉に書かれた数字を確率変数$Y$とする。ただし、1回目に取り出した玉は袋に戻さない。このとき、$P(XY=1)$、$P(Y=1)$、$E(XY)$、$a$、$E(X^2)$、$V(X)$、$\sigma(X)$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$P(XY=1)$を求める。$XY=1$となるのは、$X=1$かつ$Y=1$のときのみ。

$P(X=1) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$P(Y=1|X=1) = \frac{5}{17}$

よって、$P(XY=1) = P(X=1)P(Y=1|X=1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{17} = \frac{5}{51}$

次に、$P(Y=1)$を求める。

$P(X=0) = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

$P(X=1) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$P(X=2) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

$P(Y=1) = P(X=0)P(Y=1|X=0) + P(X=1)P(Y=1|X=1) + P(X=2)P(Y=1|X=2)$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{17} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{17} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{17} = \frac{3}{17} + \frac{5}{51} + \frac{1}{17} = \frac{9+5+3}{51} = \frac{17}{51} = \frac{1}{3}$

次に、$XY$の確率分布を求める。

$XY$が取りうる値は0, 1, 2, 4。

$P(XY=0) = 1 - P(XY \neq 0) = 1 - P(X \neq 0 \text{ and } Y \neq 0) = 1 - P(X \neq 0) + P(X=0 \text{ and } Y \neq 0)$

$P(XY=0) = 1 - P(X=1 \text{ or } X=2)= 1 - (\frac{6}{18} + \frac{3}{18}) = 1 - \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

$P(XY=1) = \frac{5}{51}$

$P(XY=2) = P(X=1 \text{ and } Y=2) + P(X=2 \text{ and } Y=1) = \frac{6}{18} \cdot \frac{3}{17} + \frac{3}{18} \cdot \frac{6}{17} = \frac{18+18}{18 \cdot 17} = \frac{36}{18 \cdot 17} = \frac{2}{17}$

$P(XY=4) = P(X=2 \text{ and } Y=2) = \frac{3}{18} \cdot \frac{2}{17} = \frac{6}{18 \cdot 17} = \frac{1}{3 \cdot 17} = \frac{1}{51}$

$E(XY) = 0 \cdot P(XY=0) + 1 \cdot P(XY=1) + 2 \cdot P(XY=2) + 4 \cdot P(XY=4)$

$= 0 + 1 \cdot \frac{5}{51} + 2 \cdot \frac{2}{17} + 4 \cdot \frac{1}{51} = \frac{5}{51} + \frac{12}{51} + \frac{4}{51} = \frac{21}{51} = \frac{7}{17}$

次に、$E(aXY-1)=1$となるような$a$を求める。

$E(aXY-1) = aE(XY) - 1 = a \cdot \frac{7}{17} - 1 = 1$

$\frac{7}{17}a = 2$

$a = \frac{2 \cdot 17}{7} = \frac{34}{7}$

次に、$E(X^2)$を求める。

$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{9}{18} + 1^2 \cdot \frac{6}{18} + 2^2 \cdot \frac{3}{18} = 0 + \frac{6}{18} + \frac{12}{18} = \frac{18}{18} = 1$

次に、$V(X)$を求める。

$E(X) = 0 \cdot \frac{9}{18} + 1 \cdot \frac{6}{18} + 2 \cdot \frac{3}{18} = 0 + \frac{6}{18} + \frac{6}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

最後に、$\sigma(X)$を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$P(XY=1) = \frac{5}{51}$

$P(Y=1) = \frac{1}{3}$

$E(XY) = \frac{7}{17}$

$a = \frac{34}{7}$

$E(X^2) = 1$

$V(X) = \frac{5}{9}$

$\sigma(X) = \frac{\sqrt{5}}{3}$