(1) 正四面体OABCの頂点上を点Pが1秒ごとに等確率で移動する。初期位置が頂点Oのとき、$n$秒後に頂点Oにいる確率 $p_n$ を求める。 (2) 袋Aに赤玉1個、白玉3個、袋Bに白玉3個が入っている。1回の試行で袋Aから1個、袋Bから1個を無作為に選び交換する。$n$回試行後、袋Aに赤玉が入っている確率 $p_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 正四面体OABCの頂点上を点Pが1秒ごとに等確率で移動する。初期位置が頂点Oのとき、$n$秒後に頂点Oにいる確率 $p_n$ を求める。

(2) 袋Aに赤玉1個、白玉3個、袋Bに白玉3個が入っている。1回の試行で袋Aから1個、袋Bから1個を無作為に選び交換する。$n$回試行後、袋Aに赤玉が入っている確率 $p_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$p_n$ を$n$秒後に点Pが頂点Oにいる確率とする。

$1-p_n$ は$n$秒後に点Pが頂点A,B,Cのいずれかにいる確率である。

$n+1$秒後に点Pが頂点Oにいる確率 $p_{n+1}$ は、以下の2つの場合を考える。

- $n$秒後に頂点A, B, Cのいずれかにいて、次の1秒で頂点Oに移動する場合

- $n$秒後に頂点Oにいて、次の1秒で頂点Oに移動する場合

1秒後に頂点O以外の点にいる確率は $\frac{3}{4}$。頂点Oにいる確率は $p_n$ なので、

$p_{n+1} = (1-p_n) \times \frac{1}{3} + p_n \times 0 = \frac{1-p_n}{3}$

$p_{n+1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} p_n$

$p_{n+1} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{3} (p_n - \frac{1}{4})$

数列 $\{p_n - \frac{1}{4}\}$ は初項 $p_0 - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, 公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列である。

$p_n - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} (-\frac{1}{3})^n$

$p_n = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (-\frac{1}{3})^n$

(2)

$p_n$ を$n$回試行後、袋Aに赤玉が入っている確率とする。

$1-p_n$ は$n$回試行後、袋Aに白玉が入っている確率である。

$n+1$回試行後に袋Aに赤玉が入っている確率 $p_{n+1}$ は、以下の2つの場合を考える。

- $n$回試行後に袋Aに赤玉が入っていて、次の試行で袋Aから白玉、袋Bから赤玉が交換される場合。

- $n$回試行後に袋Aに白玉が入っていて、次の試行で袋Aから白玉、袋Bから赤玉が交換される場合。

袋Aから赤玉を選ぶ確率は$p_n$。袋Aから白玉を選ぶ確率は $1-p_n$。

袋Bから赤玉を選ぶ確率は0。袋Bから白玉を選ぶ確率は1。

$p_{n+1} = p_n \times 0 + (1-p_n) \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} p_n$

$p_{n+1} = -\frac{1}{4} p_n + \frac{1}{4}$

$p_{n+1} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{4} (p_n - \frac{1}{5})$

数列 $\{p_n - \frac{1}{5}\}$ は初項 $p_0 - \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$, 公比 $-\frac{1}{4}$ の等比数列である。

$p_n - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} (-\frac{1}{4})^n$

$p_n = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (-\frac{1}{4})^n$

3. 最終的な答え

(1) $p_n = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (-\frac{1}{3})^n$

(2) $p_n = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} (-\frac{1}{4})^n$