5人がじゃんけんを1回するとき、あいこになる確率を求めます。

1. 問題の内容

5人がじゃんけんを1回するとき、あいこになる確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、5人の手の出し方の総数を計算します。各人がグー、チョキ、パーの3通りの出し方があるので、手の出し方の総数は $3^5 = 243$ 通りです。

次に、あいこになる場合の数を考えます。あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合と、3種類の手が全て出る場合です。

* 全員が同じ手を出す場合:

全員がグー、全員がチョキ、全員がパーの3通りです。

* 3種類の手が全て出る場合:

これは少し複雑なので、余事象を考えます。つまり、「あいこにならない」場合を考えます。あいこにならないのは、誰かが勝つ場合です。誰かが勝つ場合は、「1人だけが勝つ」、「2人だけが勝つ」、「3人だけが勝つ」、「4人だけが勝つ」というケースが考えられます。または、全員が同じ手を出さずに、2種類の手しか出ない場合を考えます。

2種類の手しか出ない場合は、例えばグーとチョキだけが出る場合を考えます。このとき、少なくとも1人はグーを出し、少なくとも1人はチョキを出さなければなりません。全体では$2^5$通りですが、全員グーの場合と全員チョキの場合は除く必要があるので、$2^5 - 2 = 32 - 2 = 30$通りです。グーとチョキ、チョキとパー、パーとグーの組み合わせがあるので、このパターンは $30 \times 3 = 90$ 通りあります。

あいこになるのは、全体の場合の数から、勝負が決まる場合（つまり、あいこにならない場合）を除いたものです。

勝負が決まる場合 = 2種類の手が出る場合 + 全員が同じ手を出す場合

あいこの場合 = 全体 - 勝負が決まる場合

あいこになる確率 = (あいこになる場合の数) / (全体の場合の数)

まず、全員が同じ手を出す場合は3通り。

次に、2種類の手が出る場合は、$2^5 - 2 = 30$通り。これが3パターンあるので、90通り。

よって、あいこにならない場合は、$3 + 90 = 93$通り。

あいこになるのは $243 - 93 = 150$ 通りです。

したがって、あいこになる確率は $150 / 243 = 50 / 81$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{50}{81}$