ディスカウントストア A 店における缶コーヒーの価格 $X$ と 1 日の販売数量 $Y$ のデータが与えられています。このデータを用いて、以下の問題を解きます。 1. 回帰式 $Y = a + bX$ を最小二乗法（OLS）により推定する。

1. 問題の内容

ディスカウントストア A 店における缶コーヒーの価格 $X$ と 1 日の販売数量 $Y$ のデータが与えられています。このデータを用いて、以下の問題を解きます。

1. 回帰式 $Y = a + bX$ を最小二乗法（OLS）により推定する。

2. この缶コーヒーを 1 円値下げした時、1 日の販売数量がどれくらい増加するか予測する。

3. この缶コーヒーを 95 円にした時、1 日の販売数量がいくらになるか予測する。

4. この缶コーヒーを 78 円にした時、1 日の販売数量がいくらになるか予測する。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから必要な統計量を計算します。

$X$ の平均 $\bar{X}$ と $Y$ の平均 $\bar{Y}$ はすでに与えられています。 $\bar{X} = 100$, $\bar{Y} = 38$

次に、表の残りの部分を埋めます。

| $X$ | $Y$ | $X-\bar{X}$ | $Y-\bar{Y}$ | $(X-\bar{X})^2$ | $(Y-\bar{Y})^2$ | $(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})$ |

|---|---|---|---|---|---|---|

| 115 | 10 | 15 | -28 | 225 | 784 | -420 |

| 110 | 20 | 10 | -18 | 100 | 324 | -180 |

| 100 | 30 | 0 | -8 | 0 | 64 | 0 |

| 90 | 60 | -10 | 22 | 100 | 484 | -220 |

| 85 | 70 | -15 | 32 | 225 | 1024 | -480 |

| 合計 | | | | 650 | 2680 | -1300 |

回帰式の係数 $b$ は以下の式で計算されます。

$b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} = \frac{\sum (X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sum (X-\bar{X})^2}$

$b = \frac{-1300}{650} = -2$

回帰式の係数 $a$ は以下の式で計算されます。

$a = \bar{Y} - b\bar{X} = 38 - (-2)(100) = 38 + 200 = 238$

したがって、回帰式は $Y = 238 - 2X$ となります。

2. 缶コーヒーを 1 円値下げした時、1 日の販売数量の増加量は $b$ の絶対値に等しくなります。したがって、販売数量は 2 個増加します。

3. $X = 95$ のとき、 $Y = 238 - 2(95) = 238 - 190 = 48$。したがって、1 日の販売数量は 48 個と予測されます。

4. $X = 78$ のとき、 $Y = 238 - 2(78) = 238 - 156 = 82$。したがって、1 日の販売数量は 82 個と予測されます。

3. 最終的な答え

1. 回帰式: $Y = 238 - 2X$

2. 増加量: 2 個

3. 販売数量 ($X=95$): 48 個

4. 販売数量 ($X=78$): 82 個