確率変数 $X$ が正規分布 $N(1, 2^2)$ に従うとき、次の確率を求めます。 (1) $P(X \ge 2)$ (2) $P(2 \le X \le 3)$ (3) $P(-2 \le X \le 2)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(1, 2^2)$ に従うとき、次の確率を求めます。

(1) $P(X \ge 2)$

(2) $P(2 \le X \le 3)$

(3) $P(-2 \le X \le 2)$

2. 解き方の手順

正規分布を標準化するために、標準化変数 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ を使います。ここで、$\mu = 1$ (平均) と $\sigma = 2$ (標準偏差) です。

(1) $P(X \ge 2)$

$Z = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$P(X \ge 2) = P(Z \ge 0.5) = 1 - P(Z < 0.5)$

標準正規分布表より $P(Z < 0.5) \approx 0.6915$ なので、

$P(X \ge 2) = 1 - 0.6915 = 0.3085$

(2) $P(2 \le X \le 3)$

$Z_1 = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$Z_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$P(2 \le X \le 3) = P(0.5 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z < 0.5)$

標準正規分布表より $P(Z \le 1) \approx 0.8413$ と $P(Z < 0.5) \approx 0.6915$ なので、

$P(2 \le X \le 3) = 0.8413 - 0.6915 = 0.1498$

(3) $P(-2 \le X \le 2)$

$Z_1 = \frac{-2 - 1}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$

$Z_2 = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$P(-2 \le X \le 2) = P(-1.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z < -1.5)$

$P(Z < -1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$

標準正規分布表より $P(Z \le 1.5) \approx 0.9332$ なので、

$P(Z < -1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$

標準正規分布表より $P(Z \le 0.5) \approx 0.6915$ なので、

$P(-2 \le X \le 2) = 0.6915 - 0.0668 = 0.6247$

3. 最終的な答え

(1) $P(X \ge 2) = 0.3085$

(2) $P(2 \le X \le 3) = 0.1498$

(3) $P(-2 \le X \le 2) = 0.6247$