袋の中に赤球4個、白球3個、青球2個が入っている。この袋から4個の球を取り出すとき、赤球が2個以上含まれる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球4個、白球3個、青球2個が入っている。この袋から4個の球を取り出すとき、赤球が2個以上含まれる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全事象の場合の数を計算する。合計9個の球から4個を取り出す組み合わせの数である。

全事象は $_9C_4$ で計算できる。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

次に、赤球が2個以上含まれる場合の数を計算する。

赤球が2個、3個、4個の場合に分けて考える。

* 赤球が2個の場合：残りの2個は、白球と青球の合計5個から選ぶ。$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

赤球2個の選び方は $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

赤球2個、他2個の場合の数は $6 \times 10 = 60$

* 赤球が3個の場合：残りの1個は、白球と青球の合計5個から選ぶ。$_5C_1 = 5$

赤球3個の選び方は $_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

赤球3個、他1個の場合の数は $4 \times 5 = 20$

* 赤球が4個の場合：残りの0個は、白球と青球の合計5個から選ぶ。$_5C_0 = 1$

赤球4個の選び方は $_4C_4 = 1$

赤球4個の場合の数は $1 \times 1 = 1$

赤球が2個以上の場合の数は、 $60 + 20 + 1 = 81$

したがって、求める確率は $\frac{81}{126}$となる。これを約分すると、$\frac{9}{14}$

3. 最終的な答え

ア = 9

イ = 14