福引があり、赤い玉1個、緑色の玉2個、青い玉3個、白い玉4個が入っています。それぞれの玉が出たときの賞金は、赤:1000円、緑:300円、青:100円、白:0円です。福引で出る玉の確率は全て等しいとします。この福引を引いたときに貰えるお金を確率変数 $X$ で表すとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求めます。

1. 問題の内容

福引があり、赤い玉1個、緑色の玉2個、青い玉3個、白い玉4個が入っています。それぞれの玉が出たときの賞金は、赤:1000円、緑:300円、青:100円、白:0円です。福引で出る玉の確率は全て等しいとします。この福引を引いたときに貰えるお金を確率変数 $X$ で表すとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の期待値 $E[X]$ を計算します。次に、$E[X^2]$ を計算します。そして、分散 $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ を用いて分散を求めます。

玉の総数は $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 個です。

$X$ の取りうる値は、0, 100, 300, 1000 です。それぞれの確率 $P(X=x)$ は以下の通りです。

* $P(X=0) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

* $P(X=100) = \frac{3}{10}$

* $P(X=300) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

* $P(X=1000) = \frac{1}{10}$

$E[X]$ を計算します。

$E[X] = 0 \times \frac{4}{10} + 100 \times \frac{3}{10} + 300 \times \frac{2}{10} + 1000 \times \frac{1}{10} = 0 + 30 + 60 + 100 = 190$

$E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = 0^2 \times \frac{4}{10} + 100^2 \times \frac{3}{10} + 300^2 \times \frac{2}{10} + 1000^2 \times \frac{1}{10} = 0 + 10000 \times \frac{3}{10} + 90000 \times \frac{2}{10} + 1000000 \times \frac{1}{10} = 0 + 3000 + 18000 + 100000 = 121000$

$V[X]$ を計算します。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 121000 - (190)^2 = 121000 - 36100 = 84900$

3. 最終的な答え

84900