正規母集団から抽出された4つのデータ（3, 9, 11, 17）が与えられたとき、以下の値を計算する問題です。 (1) 標本平均 $\bar{x}$ (2) 標本分散 $s^2$ (3) 標本標準偏差 $s$ (4) 母分散を$\sigma^2$としたときの $W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$の値。また、このWが従う$\chi^2$分布の自由度。

1. 問題の内容

正規母集団から抽出された4つのデータ（3, 9, 11, 17）が与えられたとき、以下の値を計算する問題です。

(1) 標本平均 $\bar{x}$

(2) 標本分散 $s^2$

(3) 標本標準偏差 $s$

(4) 母分散を$\sigma^2$としたときの $W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$の値。また、このWが従う$\chi^2$分布の自由度。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\bar{x}$を計算します。

$\bar{x} = \frac{3+9+11+17}{4}$

(2) 標本分散$s^2$を計算します。

まず、各データと標本平均の差を計算し、その二乗和を求めます。

次に、その二乗和を $(n-1)$ で割ります（ここで、$n$は標本サイズで4です）。

$s^2 = \frac{(3-\bar{x})^2 + (9-\bar{x})^2 + (11-\bar{x})^2 + (17-\bar{x})^2}{4-1}$

(3) 標本標準偏差$s$を計算します。

標本分散の平方根を取ります。

$s = \sqrt{s^2}$

(4) $W$の値を計算します。$W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$であり、これは自由度$(n-1)$の$\chi^2$分布に従います。

3. 最終的な答え

(1)

計算式: $\frac{3+9+11+17}{4}$

結論: 標本平均 $\bar{x} = 10$

(2)

計算式: $\frac{(3-10)^2 + (9-10)^2 + (11-10)^2 + (17-10)^2}{4-1}$

結論: 標本分散 $s^2 = \frac{49+1+1+49}{3} = \frac{100}{3}$

(3)

したがって、標本標準偏差 $s = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

(4)

計算式: $\frac{(4-1)s^2}{\sigma^2}$ = $\frac{3s^2}{\sigma^2}$

結論: $W = \frac{3 \cdot \frac{100}{3}}{\sigma^2} = \frac{100}{\sigma^2}$

このWは、自由度 3 の$\chi^2$分布に従うデータとなる。