ある蝶の体長が正規母集団に従うとき、観測された5個体の体長（76ミリ、85ミリ、82ミリ、80ミリ、77ミリ）を用いて、母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。

1. 問題の内容

ある蝶の体長が正規母集団に従うとき、観測された5個体の体長（76ミリ、85ミリ、82ミリ、80ミリ、77ミリ）を用いて、母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{76+85+82+80+77}{5}$

(2) 標本分散 $s^2$ を計算します。

まず、各データと標本平均の差を計算します。

$76 - \bar{x}, 85 - \bar{x}, 82 - \bar{x}, 80 - \bar{x}, 77 - \bar{x}$

次に、これらの差の二乗和を計算し、自由度（n-1=4）で割ります。

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2}{5-1}$

(3) $W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} = \frac{4s^2}{\sigma^2}$ を計算します。

(4) $W$ は自由度 $n-1=4$ のカイ二乗分布に従います。

95%信頼区間を求めるため、カイ二乗分布表から、自由度4における2.5%点と97.5%点を求めます。

$\chi^2_{0.025, 4} \approx 0.484$

$\chi^2_{0.975, 4} \approx 9.488$

したがって、

$0.484 \leq \frac{4s^2}{\sigma^2} \leq 9.488$

(5) 母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求めます。

上記の不等式を変形して、$\sigma^2$ について解きます。

$\frac{4s^2}{9.488} \leq \sigma^2 \leq \frac{4s^2}{0.484}$

まず、$\bar{x}$ と $s^2$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{76+85+82+80+77}{5} = \frac{400}{5} = 80$

$s^2 = \frac{(76-80)^2+(85-80)^2+(82-80)^2+(80-80)^2+(77-80)^2}{5-1}$

$s^2 = \frac{(-4)^2 + (5)^2 + (2)^2 + (0)^2 + (-3)^2}{4} = \frac{16+25+4+0+9}{4} = \frac{54}{4} = 13.5$

したがって、

$\frac{4 \times 13.5}{9.488} \leq \sigma^2 \leq \frac{4 \times 13.5}{0.484}$

$\frac{54}{9.488} \leq \sigma^2 \leq \frac{54}{0.484}$

$5.691 \leq \sigma^2 \leq 111.57$

3. 最終的な答え

(1) 結論: $\bar{x} = 80$

(2) 結論: $s^2 = 13.5$

(3) 結論: $W = \frac{4s^2}{\sigma^2}$

(4) $W$ は自由度 4 の $\chi^2$ 分布に従うので、

$0.484 \leq \frac{4s^2}{\sigma^2} \leq 9.488$

(5) 従って、母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間は、$5.691 \leq \sigma^2 \leq 111.57$ となる。