10人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合について、グループ分けの方法の数を求めます。 (1) 7人と3人のグループに分ける。 (2) 5人、3人、2人のグループに分ける。 (3) 4人、3人、3人のグループに分ける。 (4) 1人を除き、残りの9人を3人ずつ3つのグループに分ける。

1. 問題の内容

10人の生徒を、指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合について、グループ分けの方法の数を求めます。

(1) 7人と3人のグループに分ける。

(2) 5人、3人、2人のグループに分ける。

(3) 4人、3人、3人のグループに分ける。

(4) 1人を除き、残りの9人を3人ずつ3つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) 7人と3人のグループに分ける場合：

10人から7人を選ぶ組み合わせの数を求めれば、残りの3人は自動的に決まります。

したがって、組み合わせの数は ${}_{10}C_7$ です。

${}_{10}C_7 = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 5人、3人、2人のグループに分ける場合：

まず10人から5人を選び、次に残りの5人から3人を選び、最後に残りの2人から2人を選びます。

したがって、組み合わせの数は ${}_{10}C_5 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2$ です。

${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_2C_2 = 1$

よって、組み合わせの数は $252 \times 10 \times 1 = 2520$

(3) 4人、3人、3人のグループに分ける場合：

まず10人から4人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人から3人を選びます。

ただし、3人のグループが2つあるため、グループの区別がないので2!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの数は $\frac{{}_{10}C_4 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{2!}$ です。

${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_3C_3 = 1$

よって、組み合わせの数は $\frac{210 \times 20 \times 1}{2} = 210 \times 10 = 2100$

(4) 1人を除き、残りの9人を3人ずつ3つのグループに分ける場合：

まず10人から1人を選び除外します。次に残りの9人から3人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人から3人を選びます。

ただし、3人のグループが3つあるため、グループの区別がないので3!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの数は ${}_{10}C_1 \times \frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!}$ です。

${}_{10}C_1 = 10$

${}_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_3C_3 = 1$

よって、組み合わせの数は $10 \times \frac{84 \times 20 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times \frac{1680}{6} = 10 \times 280 = 2800$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 2520通り

(3) 2100通り

(4) 2800通り