蝶の体長が正規母集団に従うとき、観測された4個体の体長（76ミリ、77ミリ、83ミリ、84ミリ）から、母分散$\sigma^2$の95%信頼区間を求める。

1. 問題の内容

蝶の体長が正規母集団に従うとき、観測された4個体の体長（76ミリ、77ミリ、83ミリ、84ミリ）から、母分散$\sigma^2$の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\bar{x}$を計算する。

$\bar{x} = \frac{76 + 77 + 83 + 84}{4} = \frac{320}{4} = 80$

(2) 標本分散$s^2$を計算する。

まず、各データと標本平均との偏差を計算する。

$76 - 80 = -4$

$77 - 80 = -3$

$83 - 80 = 3$

$84 - 80 = 4$

次に、これらの偏差の二乗を計算する。

$(-4)^2 = 16$

$(-3)^2 = 9$

$3^2 = 9$

$4^2 = 16$

これらの二乗和を計算する。

$16 + 9 + 9 + 16 = 50$

最後に、二乗和を$n-1$で割って標本分散を求める。（ここで、$n$はサンプルサイズで、今回は$n=4$なので、$n-1 = 3$）

$s^2 = \frac{50}{4-1} = \frac{50}{3} \approx 16.67$

(3) 統計量$W$を計算する。

$W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} = \frac{(4-1)s^2}{\sigma^2} = \frac{3s^2}{\sigma^2} = \frac{3 \cdot \frac{50}{3}}{\sigma^2} = \frac{50}{\sigma^2}$

(4) $W$は自由度$n-1=3$の$\chi^2$分布に従う。

自由度3の$\chi^2$分布における95%予言的中区間は、表より$0.2157 \le W \le 9.3484$である。

$0.2157 \le \frac{50}{\sigma^2} \le 9.3484$

各辺の逆数をとる。逆数を取る際に不等号の向きが変わることに注意する。

$\frac{1}{9.3484} \le \frac{\sigma^2}{50} \le \frac{1}{0.2157}$

各辺に50をかける。

$\frac{50}{9.3484} \le \sigma^2 \le \frac{50}{0.2157}$

$5.347 \le \sigma^2 \le 231.8$

3. 最終的な答え

(1) 標本平均: $\bar{x}=80$

(2) 標本分散: $s^2=\frac{50}{3}$

(3) 統計量: $W = \frac{50}{\sigma^2}$

(4) 信頼区間: $5.347 \le \sigma^2 \le 231.8$