画像に表示されている、統計学における標本平均と標本分散に関する穴埋め問題を解きます。具体的には、以下の項目を埋めます。 * 標本平均の定義 * 標本平均の分布に関する性質（母平均との関係、母分散との関係、母集団が正規分布の場合） * 標本分散の定義 * 母集団が正規分布の場合の標本分散の分布

1. 問題の内容

画像に表示されている、統計学における標本平均と標本分散に関する穴埋め問題を解きます。具体的には、以下の項目を埋めます。

* 標本平均の定義

* 標本平均の分布に関する性質（母平均との関係、母分散との関係、母集団が正規分布の場合）

* 標本分散の定義

* 母集団が正規分布の場合の標本分散の分布

2. 解き方の手順

* 標本平均の定義: 標本 $x_1, \dots, x_n$ に対する標本平均 $\bar{x}$ は、これらの値の算術平均で定義されます。

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

* 標本平均の分布に関する性質:

* 母平均が $\mu$ のとき、標本平均の平均（期待値）は $\mu$ です。

* 母分散が $\sigma^2$ のとき、標本平均の分散は $\frac{\sigma^2}{n}$ です。

* 母集団が正規分布に従うとき、標本平均も正規分布に従います。

* 標本分散の定義: 標本 $x_1, \dots, x_n$ に対する標本分散 $s^2$ は、各データ点と標本平均との差の二乗平均（ただし、不偏推定量にするために $n-1$ で割る）で定義されます。

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

* 標本分散の分布:

* 母集団が正規分布に従うとき、標本分散の分布はカイ二乗分布に従います。

3. 最終的な答え

* 標本平均（第13講）

母集団から無作為に抽出された標本 $x_1,..., x_n$ に対してその平均値

$\bar{x} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

を標本平均という。

* 標本平均の分布（第14講）

* 母平均（母集団の平均）が $\mu$ => 標本平均の平均は $\mu$

* 母分散（母集団の分散）が $\sigma^2$ => 標本平均の分散は $\frac{\sigma^2}{n}$

* 母集団が正規分布 => 標本平均の分布は 正規分布

* 標本分散（第16講）

母集団から無作為に抽出された標本 $x_1,..., x_n$ に対してその分散

$s^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

を標本分散という

* 標本分散の分布（第16講）

* 母集団が正規分布 => 標本分散の分布は カイ二乗