男子8人、女子4人の合計12人から6人を選んでAグループとし、残りの6人をBグループとする。以下の4つの条件を満たすようなグループ分けの方法の数を求める。 (1) Aグループがすべて男子となる場合 (2) Aグループ、Bグループどちらにも女子が2人入る場合 (3) Aグループに特定の女子1人が入る場合 (4) Aグループ、Bグループのどちらにも女子が少なくとも1人は入る場合

1. 問題の内容

男子8人、女子4人の合計12人から6人を選んでAグループとし、残りの6人をBグループとする。以下の4つの条件を満たすようなグループ分けの方法の数を求める。

(1) Aグループがすべて男子となる場合

(2) Aグループ、Bグループどちらにも女子が2人入る場合

(3) Aグループに特定の女子1人が入る場合

(4) Aグループ、Bグループのどちらにも女子が少なくとも1人は入る場合

2. 解き方の手順

(1) Aグループがすべて男子となる場合

Aグループの6人を男子8人から選ぶ。残りの6人は女子4人、男子2人となる。

組み合わせの数は、

$_8C_6 = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り

(2) Aグループ、Bグループどちらにも女子が2人入る場合

Aグループに女子2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

Aグループの残り4人を男子8人から選ぶ組み合わせは $_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通り

よって、Aグループの選び方は $6 \times 70 = 420$通り

Bグループには残りの女子2人、男子4人が入る。

(3) Aグループに特定の女子1人が入る場合

特定の女子1人をAグループに入れる。残りの5人を11人から選ぶ。

$_11C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$ 通り

(4) Aグループ、Bグループのどちらにも女子が少なくとも1人は入る場合

まず、Aグループ、Bグループへの分け方の総数を求める。

$_{12}C_6 = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 924$

このうち、Aグループに女子が1人も入らない場合を引く。これは(1)で求めた28通りである。

また、Bグループに女子が1人も入らない場合、すなわちAグループに女子が4人すべて入る場合を引く。

Aグループに女子4人を入れ、残りの2人を男子8人から選ぶ組み合わせは $_8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り

求める組み合わせの数は、

$924 - 28 - 28 = 868$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 420通り

(3) 462通り

(4) 868通り