1から5までの数字が書かれた5枚のカードがあり、それぞれにA, B, Cのいずれかのスタンプを押します。 (1) 使わないスタンプがあってもよい場合の押し方の総数を求めます。 (2) 使わないスタンプが1つだけある場合の押し方の総数を求めます。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた5枚のカードがあり、それぞれにA, B, Cのいずれかのスタンプを押します。

(1) 使わないスタンプがあってもよい場合の押し方の総数を求めます。

(2) 使わないスタンプが1つだけある場合の押し方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 使わないスタンプがあっても良い場合

各カードに対して、A, B, Cの3つのスタンプのいずれかを押すことができます。カードは5枚あるので、それぞれのカードに3通りの選択肢があります。したがって、押し方の総数は $3^5$ となります。

$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

(2) 使わないスタンプが1つだけある場合

まず、使わないスタンプを1つ選びます。これはA, B, Cの3つのスタンプから1つを選ぶので、3通りの選び方があります。

使わないスタンプが決まったら、残りの2種類のスタンプを使って5枚のカードにスタンプを押します。このとき、すべてのカードに同じスタンプを押す場合は除外する必要があります。2種類のスタンプを使って5枚のカードにスタンプを押す方法は $2^5$ 通りあります。しかし、すべてのカードに同じスタンプを押す場合は2通りあります（すべてのカードに一方のスタンプを押す場合と、すべてのカードにもう一方のスタンプを押す場合）。したがって、$2^5 - 2$ 通りが、2種類のスタンプを両方使う場合の数になります。

使わないスタンプの選び方が3通りあり、それぞれの選び方に対して $2^5 - 2$ 通りの押し方があるので、押し方の総数は $3 \times (2^5 - 2)$ となります。

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

$2^5 - 2 = 32 - 2 = 30$

$3 \times 30 = 90$

3. 最終的な答え

(1) 使わないスタンプがあっても良い場合の押し方は243通りです。

(2) 使わないスタンプが1つだけある場合の押し方は90通りです。