問題は2つの部分に分かれています。 (1) 確率変数 $X$ が正規分布 $N(11, 2^2)$ に従うとき、以下の確率を計算し、指定された値を求めます。 * $P(13 \le X \le 14)$ * $P(X \le a) = 0.05$ となるような $a$ の値 (2) 連続確率変数 $X$ の確率密度関数が次のように与えられているとき、期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。 $f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & -1 \le x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) 確率変数 $X$ が正規分布 $N(11, 2^2)$ に従うとき、以下の確率を計算し、指定された値を求めます。

* $P(13 \le X \le 14)$

* $P(X \le a) = 0.05$ となるような $a$ の値

(2) 連続確率変数 $X$ の確率密度関数が次のように与えられているとき、期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。

$f_X(x) = \begin{cases}

\frac{1}{2}, & -1 \le x < 1 \\

0, & \text{otherwise}

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 正規分布の確率計算と $a$ の計算

* $X$ は正規分布 $N(11, 2^2)$ に従うので、標準化変数 $Z = \frac{X - 11}{2}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従います。

* $P(13 \le X \le 14)$ を計算するために、まず $X=13$ と $X=14$ を標準化します。

* $Z_1 = \frac{13 - 11}{2} = 1$

* $Z_2 = \frac{14 - 11}{2} = 1.5$

* したがって、$P(13 \le X \le 14) = P(1 \le Z \le 1.5) = P(Z \le 1.5) - P(Z \le 1)$ となります。標準正規分布表または計算機を用いて、これらの確率を求めます。$P(Z \le 1.5) \approx 0.9332$、$P(Z \le 1) \approx 0.8413$ であるため、$P(13 \le X \le 14) \approx 0.9332 - 0.8413 = 0.0919$ となります。

* $P(X \le a) = 0.05$ となる $a$ を求めるには、まず $X$ を標準化します。$P(\frac{X-11}{2} \le \frac{a-11}{2}) = 0.05$ です。 標準正規分布表から、$P(Z \le -1.645) \approx 0.05$ であることがわかります。したがって、$\frac{a-11}{2} = -1.645$ となり、$a = 11 + 2(-1.645) = 11 - 3.29 = 7.71$ となります。

(2) 連続確率変数の期待値と分散の計算

* 期待値 $E[X]$ は、確率密度関数 $f_X(x)$ を用いて次のように計算されます。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$

この場合、$E[X] = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x dx = \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = 0$

* 分散 $V[X]$ は、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ で計算されます。$E[X] = 0$ であるため、$V[X] = E[X^2]$ となります。

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx$

この場合、$E[X^2] = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{1}{2} [\frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、$V[X] = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

* $P(13 \le X \le 14) = 0.092$

* $a = 7.710$

* $E[X] = 0$

* $V[X] = \frac{1}{3}$