福引があり、赤い玉が1個、緑色の玉が2個、青い玉が3個、白い玉が4個入っています。当たる玉の色に応じて、赤:1000円、緑:300円、青:100円、白:0円がもらえます。福引で出る玉の確率は全て等しいものとします。福引を引いたときに貰えるお金を確率変数 $X$ で表すとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求めなさい。

1. 問題の内容

福引があり、赤い玉が1個、緑色の玉が2個、青い玉が3個、白い玉が4個入っています。当たる玉の色に応じて、赤:1000円、緑:300円、青:100円、白:0円がもらえます。福引で出る玉の確率は全て等しいものとします。福引を引いたときに貰えるお金を確率変数 $X$ で表すとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の確率分布を求めます。

- 赤玉が出る確率は $1/10$ で、賞金は1000円。

- 緑玉が出る確率は $2/10 = 1/5$ で、賞金は300円。

- 青玉が出る確率は $3/10$ で、賞金は100円。

- 白玉が出る確率は $4/10 = 2/5$ で、賞金は0円。

次に、確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ を計算します。

$E[X] = 1000 * (1/10) + 300 * (1/5) + 100 * (3/10) + 0 * (2/5)$

$E[X] = 100 + 60 + 30 + 0$

$E[X] = 190$

次に、$E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = 1000^2 * (1/10) + 300^2 * (1/5) + 100^2 * (3/10) + 0^2 * (2/5)$

$E[X^2] = 100000 + 18000 + 3000 + 0$

$E[X^2] = 121000$

最後に、分散 $V[X]$ を計算します。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$V[X] = 121000 - (190)^2$

$V[X] = 121000 - 36100$

$V[X] = 84900$

3. 最終的な答え

84900