10枚のコインを投げるゲームがあり、表が出る確率が $1/3$、裏が出る確率が $2/3$ である。表が出れば1点、裏が出れば-1点を得る。10枚のコインを同時に投げて得られる点数の和を $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求めよ。

1. 問題の内容

10枚のコインを投げるゲームがあり、表が出る確率が $1/3$、裏が出る確率が $2/3$ である。表が出れば1点、裏が出れば-1点を得る。10枚のコインを同時に投げて得られる点数の和を $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求めよ。

2. 解き方の手順

1枚のコインを投げたときの得点の期待値をまず計算する。

表が出る確率は $1/3$ で得点は1点、裏が出る確率は $2/3$ で得点は-1点なので、1枚のコインを投げたときの得点の期待値は、

$$E_1 = (1/3) \times 1 + (2/3) \times (-1) = 1/3 - 2/3 = -1/3$$

10枚のコインを投げるので、得点の合計 $X$ の期待値は、各コインの得点の期待値の和になる。つまり、

$$E[X] = 10 \times E_1 = 10 \times (-1/3) = -10/3$$

解答は整数または既約分数で答えること、答が負の場合は数字の前に - をつけることとあるので、そのまま答える。

3. 最終的な答え

-10/3