畑Aと畑Bで果物を栽培しており、畑Aで80%、畑Bで20%栽培されている。畑Aでは1%の確率で品質不良の果物が栽培され、畑Bでは5%の確率で品質不良の果物が栽培される。ランダムに選んだ果物が品質不良であったとき、それが畑Aで栽培されたものである確率 $P(X=0 | Y=1)$ を求めよ。ここで、$X$は果物が畑Aで採れたら0、畑Bで採れたら1、$Y$は果物の品質が良ければ0、品質不良であれば1とする確率変数である。

1. 問題の内容

畑Aと畑Bで果物を栽培しており、畑Aで80%、畑Bで20%栽培されている。畑Aでは1%の確率で品質不良の果物が栽培され、畑Bでは5%の確率で品質不良の果物が栽培される。ランダムに選んだ果物が品質不良であったとき、それが畑Aで栽培されたものである確率 $P(X=0 | Y=1)$ を求めよ。ここで、$X$は果物が畑Aで採れたら0、畑Bで採れたら1、$Y$は果物の品質が良ければ0、品質不良であれば1とする確率変数である。

2. 解き方の手順

ベイズの定理を用いて求める。

$P(X=0 | Y=1) = \frac{P(Y=1 | X=0) P(X=0)}{P(Y=1)}$

ここで、

$P(X=0) = 0.8$ (畑Aで栽培される確率)

$P(X=1) = 0.2$ (畑Bで栽培される確率)

$P(Y=1 | X=0) = 0.01$ (畑Aで品質不良となる確率)

$P(Y=1 | X=1) = 0.05$ (畑Bで品質不良となる確率)

$P(Y=1) = P(Y=1 | X=0) P(X=0) + P(Y=1 | X=1) P(X=1)$ (品質不良となる確率の合計)

$P(Y=1) = 0.01 * 0.8 + 0.05 * 0.2 = 0.008 + 0.01 = 0.018$

したがって、

$P(X=0 | Y=1) = \frac{0.01 * 0.8}{0.018} = \frac{0.008}{0.018} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

4/9