福引があり、赤い玉が1個、緑色の玉が2個、青い玉が3個、白い玉が4個入っている。当たった玉の色に応じて、赤:1000円、緑:300円、青:100円、白:0円をもらえる。福引で出る玉の確率は全て等しいとする。この福引を引いたときに貰えるお金を確率変数$X$で表すとき、$X$の分散$V[X]$を求める。さらに、この福引が無料であったはずの（賞金-参加費）を払うことになったとき、新たな確率変数$Y$の期待値と分散が、$X$の期待値と分散と比べてどうなるかを選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

福引があり、赤い玉が1個、緑色の玉が2個、青い玉が3個、白い玉が4個入っている。当たった玉の色に応じて、赤:1000円、緑:300円、青:100円、白:0円をもらえる。福引で出る玉の確率は全て等しいとする。この福引を引いたときに貰えるお金を確率変数$X$で表すとき、$X$の分散$V[X]$を求める。さらに、この福引が無料であったはずの（賞金-参加費）を払うことになったとき、新たな確率変数$Y$の期待値と分散が、$X$の期待値と分散と比べてどうなるかを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$X$の期待値を計算する。

全玉数は$1+2+3+4 = 10$個である。

したがって、

$E[X] = \frac{1}{10} \times 1000 + \frac{2}{10} \times 300 + \frac{3}{10} \times 100 + \frac{4}{10} \times 0 = 100 + 60 + 30 + 0 = 190$

次に、$X^2$の期待値を計算する。

$E[X^2] = \frac{1}{10} \times 1000^2 + \frac{2}{10} \times 300^2 + \frac{3}{10} \times 100^2 + \frac{4}{10} \times 0^2 = \frac{1000000}{10} + \frac{180000}{10} + \frac{30000}{10} + 0 = 100000 + 18000 + 3000 = 121000$

分散$V[X]$は、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$で計算できる。

$V[X] = 121000 - (190)^2 = 121000 - 36100 = 84900$

次に、無料であるべき福引に、参加費を払った場合を考える。参加費を$C$とすると、$Y = X - C$である。

$E[Y] = E[X - C] = E[X] - C$

$V[Y] = V[X - C] = V[X]$

したがって、$Y$の期待値は$X$の期待値よりも小さくなるが、分散は変わらない。

3. 最終的な答え

$V[X] = 84900$

$Y$の期待値は$X$の期待値よりも小さくなるが、分散は変わらない。