1から9までの番号が書かれた9枚のカードが入った箱から、2枚のカードを同時に選び、小さい方の数を$X$とする。選んだカードを箱に戻し、再び2枚のカードを同時に選び、小さい方の数を$Y$とする。$X=Y$となる確率を求める。

1. 問題の内容

1から9までの番号が書かれた9枚のカードが入った箱から、2枚のカードを同時に選び、小さい方の数を$X$とする。選んだカードを箱に戻し、再び2枚のカードを同時に選び、小さい方の数を$Y$とする。$X=Y$となる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、2枚のカードを同時に選ぶ場合の総数を計算する。これは9枚から2枚を選ぶ組み合わせなので、 $_9C_2$通りである。

$_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$通り

$X=i$となる確率を考える。ここで、$i$は1から8までの整数である。$X=i$となるためには、選んだ2枚のカードのうち1枚が$i$であり、もう1枚が$i+1$から9までの数字でなければならない。$i+1$から9までの数字の数は$9-i$個なので、$X=i$となる組み合わせの数は$9-i$通りである。したがって、$X=i$となる確率は、

$P(X=i) = \frac{9-i}{36}$

となる。

$X=Y$となる確率は、$X$と$Y$がそれぞれ1から8の値を取り得ることを考慮して、

$P(X=Y) = \sum_{i=1}^{8} P(X=i)P(Y=i) = \sum_{i=1}^{8} \left(\frac{9-i}{36}\right)^2$

と計算できる。

$P(X=Y) = \frac{1}{36^2} \sum_{i=1}^{8} (9-i)^2 = \frac{1}{36^2} \sum_{k=1}^{8} k^2 = \frac{1}{36^2} \times \frac{8(8+1)(2 \times 8 + 1)}{6} = \frac{1}{36^2} \times \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = \frac{1}{36^2} \times 204 = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{108}$