8個の玉があり、それぞれに1から8までの数字が書かれている。これらの玉から2個ずつ選び、箱A, B, Cに入れる。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。 (3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の玉があり、それぞれに1から8までの数字が書かれている。これらの玉から2個ずつ選び、箱A, B, Cに入れる。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。

(3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は、8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、

$_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は、まず箱Aに入れる2個を選び、次に残りの6個から箱Bに入れる2個を選び、最後に残りの4個から箱Cに入れる2個を選ぶ。したがって、

$_{8}C_{2} \times _{6}C_{2} \times _{4}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$通り。

箱Aと箱Bには5以下の数（1, 2, 3, 4, 5）が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数（6, 7, 8）が書かれた玉だけを入れる場合を考える。

箱Cには6以上の数から2個選ぶので、$_{3}C_{2} = 3$通り。

箱Aと箱Bには1から5の数から4個を選ぶ。

まず、箱Aに入れる2個を選ぶ。$_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

次に、残りの3個から箱Bに入れる2個を選ぶ。$_{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$通り。

よって、箱Aと箱Bに入れる方法は$10 \times 3 = 30$通り。

したがって、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる入れ方は$30 \times 3 = 90$通り。

(3) 箱A, B, Cに入れる玉の和がすべて偶数となる場合を考える。

偶数＋偶数＝偶数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋奇数＝奇数である。

箱A, B, Cのそれぞれに、(偶数、偶数)または(奇数、奇数)の組み合わせが入ればよい。

1から8までの数字のうち、偶数は4つ（2, 4, 6, 8）、奇数も4つ（1, 3, 5, 7）ある。

箱A, B, Cすべてに(偶数、偶数)の組み合わせを入れることはできないので、(奇数、奇数)の組み合わせを入れる箱が必要。

すべての箱に偶数と偶数を入れることはできないため、少なくとも一つの箱には奇数と奇数を入れなければならない。

a, b, cがすべて偶数となるのは、箱A, B, Cすべてに(偶数、偶数)または(奇数、奇数)が入る場合。

3つの箱すべてが（偶数、偶数）となることはありえない。なぜならば、偶数は4つしかなく、各箱に2つずつ入れると6個必要になってしまうから。

同様に、3つの箱すべてが(奇数、奇数)となることもありえない。

組み合わせとしては、

(偶数、偶数)(偶数、偶数)(奇数、奇数)または

(偶数、偶数)(奇数、奇数)(奇数、奇数)

がある。

箱Aに入れるものが(奇数、奇数)の場合：$_{4}C_{2} = 6$通り。箱Bに入れるものが(奇数、奇数)の場合：残りの奇数は2個なので、$_{2}C_{2} = 1$通り。箱Cに入れるものは(偶数、偶数)なので、$_{4}C_{2} = 6$通り。

箱Aに入れるものが(偶数、偶数)の場合：$_{4}C_{2} = 6$通り。箱Bに入れるものが(奇数、奇数)の場合：$_{4}C_{2} = 6$通り。箱Cに入れるものは(偶数、偶数)なので、$_{2}C_{2} = 1$通り。

箱Aに入れるものが(偶数、偶数)の場合：$_{4}C_{2} = 6$通り。箱Bに入れるものが(偶数、偶数)の場合：$_{2}C_{2} = 1$通り。箱Cに入れるものは(奇数、奇数)なので、$_{4}C_{2} = 6$通り。

よって、$6 \times 6 \times 1 + 6 \times 1 \times 6 + 1 \times 6 \times 6 = 36+36+36 = 108$

3つの箱の選び方が3! = 6通りあるので、108 * 3! /2 = 108 * 3 = 324 / 2 = 162

ただし、箱には区別があるので、順番を考慮する必要がある。

箱A, B, Cそれぞれに偶数+偶数または奇数+奇数の組み合わせが入るようにする場合。

まず、(奇数、奇数)の組み合わせをどれか一つの箱に入れる。選び方は3通り。

(奇数、奇数)の組み合わせの選び方は$_{4}C_{2} = 6$通り。

残りの二つの箱には、(偶数、偶数)を入れる。

(偶数、偶数)の組み合わせの選び方は$_{4}C_{2}$だが、箱に入れる順番を考慮して$_{4}P_{2}=12$。6 × 1 = 6。$_2C_2 = 1$。

合計すると、$3 \times 6 \times 6 \times 1 = 108$通り。

a, b, cの少なくとも1つが偶数となる入れ方。

全体からすべて奇数の場合を引けば良い。

すべてが奇数となることはない。

2520 - 108 = 2412。

a, b, cのすべてが偶数となる場合の数は108通り。

少なくとも一つが偶数となる場合の数は、2520 - すべて奇数の場合。

すべてが奇数となることは、あり得ない。

よって、すべてが奇数となる場合は0。

a, b, cの少なくとも1つが偶数となる場合は2520 -0 = 2520 -X。

箱に奇数の和が入らない場合 = 108通り

2520 - 0

1. 問題の内容

1. 箱Aに入れる玉の選び方は全部で何通りあるか。

2. 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。

3. 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

1. $_{8}C_{2}$を計算する。

2. $_{8}C_{2} \times _{6}C_{2} \times _{4}C_{2}$を計算する。5以下の数字の玉と6以上の数字の玉の個数を数え、箱Aと箱Bに入れる組み合わせと箱Cに入れる組み合わせを計算する。

3. 各箱に入る玉の数の和が偶数になる条件を考える。偶数の個数と奇数の個数に注意して、ありうる組み合わせを計算する。少なくとも一つが偶数になる場合は、全事象からすべて奇数になる場合を引く。

3. 最終的な答え

1. 28通り

2. 2520通り、90通り

3. 108通り、2520通り