Aの袋には黒玉5個と白玉4個が入っており、Bの袋には黒玉6個と白玉4個が入っています。Aから2個、Bから3個玉を取り出すとき、取り出した黒玉の個数が合わせて2個になる確率を求めよ。

1. 問題の内容

Aの袋には黒玉5個と白玉4個が入っており、Bの袋には黒玉6個と白玉4個が入っています。Aから2個、Bから3個玉を取り出すとき、取り出した黒玉の個数が合わせて2個になる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Aから取り出す黒玉の個数と、Bから取り出す黒玉の個数の組み合わせによって、合計の黒玉の個数が2個になる場合を考えます。

* Aから0個、Bから2個

* Aから1個、Bから1個

* Aから2個、Bから0個

上記の各場合について確率を計算し、それらの確率を足し合わせることで、求める確率を得ます。

(1) Aから0個、Bから2個の場合

Aから0個の黒玉を取り出す確率は、白玉を2個取り出す確率なので、

$P(A_0) = \frac{{}_4C_2}{{}_9C_2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Bから2個の黒玉を取り出す確率は、黒玉を2個、白玉を1個取り出す確率なので、

$P(B_2) = \frac{{}_6C_2 \times {}_4C_1}{{}_{10}C_3} = \frac{15 \times 4}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$

したがって、この場合の確率は

$P_1 = P(A_0) \times P(B_2) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$

(2) Aから1個、Bから1個の場合

Aから1個の黒玉を取り出す確率は、黒玉を1個、白玉を1個取り出す確率なので、

$P(A_1) = \frac{{}_5C_1 \times {}_4C_1}{{}_9C_2} = \frac{5 \times 4}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

Bから1個の黒玉を取り出す確率は、黒玉を1個、白玉を2個取り出す確率なので、

$P(B_1) = \frac{{}_6C_1 \times {}_4C_2}{{}_{10}C_3} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

したがって、この場合の確率は

$P_2 = P(A_1) \times P(B_1) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

(3) Aから2個、Bから0個の場合

Aから2個の黒玉を取り出す確率は、黒玉を2個取り出す確率なので、

$P(A_2) = \frac{{}_5C_2}{{}_9C_2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Bから0個の黒玉を取り出す確率は、白玉を3個取り出す確率なので、

$P(B_0) = \frac{{}_4C_3}{{}_{10}C_3} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$

したがって、この場合の確率は

$P_3 = P(A_2) \times P(B_0) = \frac{5}{18} \times \frac{1}{30} = \frac{5}{540} = \frac{1}{108}$

求める確率は、上記の3つの場合の確率の和なので、

$P = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{108} = \frac{9}{108} + \frac{18}{108} + \frac{1}{108} = \frac{28}{108} = \frac{7}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{27}$