男子4人と女子5人が1列に並ぶとき、以下の並び方は何通りあるか。 (1) 男子4人が皆隣り合う (2) 男子どうしが隣り合わない

1. 問題の内容

男子4人と女子5人が1列に並ぶとき、以下の並び方は何通りあるか。

(1) 男子4人が皆隣り合う

(2) 男子どうしが隣り合わない

2. 解き方の手順

(1) 男子4人が皆隣り合う場合：

まず、男子4人をひとまとめにして考えます。すると、男子のグループと女子5人の合計6つのものを並べることになります。

6つのものの並べ方は $6!$ 通りです。

次に、男子4人の中で並び方が $4!$ 通りあります。

したがって、求める並び方は $6! \times 4!$ 通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$6! \times 4! = 720 \times 24 = 17280$

(2) 男子どうしが隣り合わない場合：

まず、女子5人を並べます。女子5人の並べ方は $5!$ 通りです。

女子5人が並んだことで、両端と間合わせて6つのスペースができます。

この6つのスペースに男子4人を並べることになります。

6つのスペースから4つを選んで男子を並べるので、その方法は $P(6, 4)$ 通りです。

したがって、求める並び方は $5! \times P(6, 4)$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$P(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

$5! \times P(6, 4) = 120 \times 360 = 43200$

3. 最終的な答え

(1) 男子4人が皆隣り合う場合：17280通り

(2) 男子どうしが隣り合わない場合：43200通り