1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。 (1) 8個の玉から2個を選び箱Aに入れる方法は何通りあるか。 (2) 8個の玉から2個ずつ選び、箱A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。 (3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。

(1) 8個の玉から2個を選び箱Aに入れる方法は何通りあるか。

(2) 8個の玉から2個ずつ選び、箱A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。

(3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 8個の玉から2個を選ぶ組み合わせの数を求める。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。

(2) 8個の玉から2個ずつ3つの箱に入れる方法を求める。まず、箱Aに入れる2個の玉の選び方は $_8C_2$ 通り。次に、残りの6個から箱Bに入れる2個の玉の選び方は $_6C_2$ 通り。最後に、残りの4個から箱Cに入れる2個の玉の選び方は $_4C_2$ 通り。したがって、全体の入れ方は $_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2$ 通り。ただし、箱A, B, Cの区別はないので、$3!$で割る必要はない。

次に、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる場合を考える。5以下の数は1, 2, 3, 4, 5の5個、6以上の数は6, 7, 8の3個である。箱Aと箱Bには5以下の玉を入れるため、箱Aに入れる玉の選び方は $_5C_2$通り、箱Bに入れる玉の選び方は $_3C_2$通り。箱Cには6,7,8から2個選ぶので $_3C_2$通り。

(3) a, b, cがすべて偶数になるためには、それぞれの箱に入れる2つの玉の数字の組み合わせが(偶数, 偶数)または(奇数, 奇数)でなければならない。

1から8までの数字のうち、偶数は2, 4, 6, 8の4個、奇数は1, 3, 5, 7の4個である。

a, b, c全てが偶数となるような場合を考える。

まず、全ての選び方の総数は $_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = 28 \times 15 \times 6 = 2520$通り

a,b,cの少なくとも一つが偶数である場合の数を求める。これはa,b,c全てが奇数である場合を全体から引けば良い。しかしa,b,cがそれぞれ和なので、a,b,cが全て奇数になることはありえない。なぜなら、偶数+奇数=奇数になるが、a,b,cの和は1+2+3+4+5+6+7+8=36で偶数だからである。

従って、a,b,cの少なくとも一つが偶数になる入れ方は全てである2520通りである。

箱A,B,C全てが偶数になる入れ方を求める。

箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉の数字の組み合わせが(偶数, 偶数)または(奇数, 奇数)でなければならない。

それぞれの箱に(偶,偶)のペアが入る組み合わせは $_4C_2 \times _2C_2 \times _0C_2= 6 \times 1 \times 0 = 0$

それぞれの箱に(奇,奇)のペアが入る組み合わせは $_4C_2 \times _2C_2 \times _0C_2= 6 \times 1 \times 0 = 0$

したがって、a,b,c全てが偶数となるような組み合わせは、3つのうち1つが(偶,偶)のペア、もう1つが(奇,奇)のペア、残りが(偶,奇)のペアとなる必要がある。

それぞれの箱に入れるペアの種類を考える。

A:(偶,偶), B:(奇,奇), C:(偶,奇)のパターン: $_4C_2 \times _4C_2 \times (4 \times 4)= 6 \times 6 \times 16=576$

A:(偶,偶), C:(奇,奇), B:(偶,奇)のパターン: $_4C_2 \times _4C_2 \times (4 \times 4)= 6 \times 6 \times 16=576$

B:(偶,偶), A:(奇,奇), C:(偶,奇)のパターン: $_4C_2 \times _4C_2 \times (4 \times 4)= 6 \times 6 \times 16=576$

B:(偶,偶), C:(奇,奇), A:(偶,奇)のパターン: $_4C_2 \times _4C_2 \times (4 \times 4)= 6 \times 6 \times 16=576$

C:(偶,偶), A:(奇,奇), B:(偶,奇)のパターン: $_4C_2 \times _4C_2 \times (4 \times 4)= 6 \times 6 \times 16=576$

C:(偶,偶), B:(奇,奇), A:(偶,奇)のパターン: $_4C_2 \times _4C_2 \times (4 \times 4)= 6 \times 6 \times 16=576$

A,B,Cの組み合わせは3!=6通りある。

しかし(偶,奇)が入る箱は、どれでも良いので、$6 \times 6 \times (4 \times 4)=576$で固定である。

残った偶数2個と奇数2個を箱に入れるので。

a,b,cがすべて偶数になる場合は、

$6 \times 6 \times 16=576$通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り, 90通り

(3) 576通り, 2520通り