10円硬貨と5円硬貨をそれぞれ1枚ずつ用意し、1回目に10円、2回目に5円、3回目に10円、4回目に5円の順で投げる。表が出た硬貨の金額の合計を $a$、表が出た回数を $b$ とする。 (1) 4回とも表が出たときの $a$ の値を求める。 (2) 表が2回出る確率を求める。 (3) $a = 10$ となる確率を求める。 (4) $ab$ の値が奇数となる確率を求める。

1. 問題の内容

10円硬貨と5円硬貨をそれぞれ1枚ずつ用意し、1回目に10円、2回目に5円、3回目に10円、4回目に5円の順で投げる。表が出た硬貨の金額の合計を $a$、表が出た回数を $b$ とする。

(1) 4回とも表が出たときの $a$ の値を求める。

(2) 表が2回出る確率を求める。

(3) $a = 10$ となる確率を求める。

(4) $ab$ の値が奇数となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 4回とも表が出た場合、1回目に10円、2回目に5円、3回目に10円、4回目に5円がすべて表になるので、その合計金額が $a$ の値となる。

(2) 4回のうち2回表が出る組み合わせを考える。4回のうち2回表が出る組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 通りある。各回の表裏の出方は同様に確からしいので、各回の表裏の確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ である。したがって、表が2回出る確率は、組み合わせ数に各回の確率を掛けて $6 \times (\frac{1}{2})^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$ となる。

(3) $a = 10$ となるのは、1回目と3回目のみ表が出て、2回目と4回目は裏が出る場合である。この時の確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ である。

(4) $ab$ が奇数となるためには、$a$ も $b$ も奇数である必要がある。

$b$ が奇数となるのは、表の回数が1回または3回の場合である。

$a$ が奇数となるのは、5円のみが表になる場合である。

- $b=1$ のとき、$a=5$ となるのは2回目または4回目が表の場合である。

確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

- $b=3$ のとき、$a$ が奇数となることはない。なぜなら、必ず10円が2回入るので偶数になるから。

したがって、$ab$ が奇数になる確率は $\frac{1}{8}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 30

(2) $\frac{3}{8}$

(3) $\frac{1}{16}$

(4) $\frac{1}{8}$